1、8.2 概率、随机变量与统计考点核心整合一、概率1.古典概率 一次试验中等可能出现n个结果组成一个集合I,其中各基本事件均为集合I的含一个元素的子集,包含m个结果的事件A为I的含有m个元素的子集A,事件A的概率P(A)=.P(A)=既是等可能性事件的概率定义,又是计算这种概率的基本方法.2.互斥事件的概率(1)互斥事件：不可能同时发生的事件叫互斥事件.(2)对立事件：两个互斥事件在一次试验中必然有一个发生,这样的两个互斥事件称为对立事件.(3)当事件A、B互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B). 对立事件的概率和为1,则P(A)+P()=1或P(A)=1-P().(4)当事件A1,A2,An
2、彼此互斥时,P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An).3.相互独立事件 事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响,就说这两个事件为相互独立事件.(1)相互独立事件同时发生的概率计算,当A、B相互独立时,P(AB)=P(A)P(B). 当A1,A2,An相互独立时,P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An).(2)n次独立重复试验中,某事件发生k次的概率Pn(k)=pk(1-p)n-k(其中p是一次试验中某事件发生的概率).二、随机变量1.离散型随机变量的分布列(1)随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量.(2)离散型随机变量 对于
3、随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.(3)离散型随机变量的分布列 设离散型随机变量可能取的值为x1,x2,xi,取每一个值xi(i=1,2,)的概率P(=xi)=pi,则下表x1x2xiPp1p2pi 为随机变量的概率分布,简称的分布列. 其中,pi0(i=1,2,);p1+p2+=1.(4)二项分布 在n次独立重复试验中,某事件发生的次数是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(=k)=pkq(n-k)(k=0,1,n,q=1-p).我们称这样的服从参数n和p的二项分布,记为B(
4、n,p).2.离散型随机变量的期望与方差(1)公式与性质E=xipi;D=(xi-E)2pi=p1-(E)2;E(a+b)=aE+b;D(a+b)=a2D.(2)若B(n,p),则E=np,D=np(1-p).三、统计1.抽样方法 三种常用抽样方法为:简单随机抽样、系统抽样、分层抽样. 当总体中的个数较少时,常用简单随机抽样;当总体中的个数较多时,常用系统抽样;当总体是由差异明显的几部分组成时,常用分层抽样.2.总体分布的估计 在研究总体时,常用样本的频率分布去估计总体分布.一般地,样本容量越大,这种估计就越精确.3.正态分布(1)密度函数:f(x)=,xR,参数、分别表示总体的平均数和标准差
5、,记为N(,).(2)正态曲线具有以下性质:曲线在x轴上方且关于x=对称;曲线在x=时处于最高点,由这点向左、右两边无限延伸并逐渐降低;当一定时,曲线形状由确定,越大,曲线越“矮胖”；越小，曲线越“瘦高”.(3)N(,)在区间(-3,+3)以外取值的概率只有0.3%,为小概率事件.(4)当=0,=1时,f(x)=称为标准正态总体的密度函数,这个正态分布叫标准正态分布,记作N(0,1).4.线性回归 对n个样本数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn), 其回归直线方程为=bx+a,其中b=,a=-b,、分别是xi、yi的平均数.考题名师诠释【例1】(2004全国高考,20)从10位同学
6、(其中6女,4男)中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为,每位男同学能通过测验的概率均为.试求:(1)选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率;(2)10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.解：(1)随机选出的3位同学中,至少有一位男同学的概率为1-=;(2)甲、乙被选中且能通过测验的概率为=.评述：本小题主要考查组合、概率等基本概念,独立事件和互斥事件的概率,以及运用概率知识解决实际问题的能力.链接提示 求概率的方法有直接法和间接法. 直接法,即运用互斥事件的概率加法公式解题,首先要分清事件是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏;若
7、直接求P(A)比较麻烦,利用P(A)=1-P()求解就简便多了,此法称间接法.【例2】（2006天津高考，18)某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且各次射击的结果互不影响.（）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（)设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列.（)解：记“射手射击1次，击中目标”为事件A，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率P1=P（AA）+P（AA）+P（AAA）=+=.()解：射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率P2=()2=.()解：由题
8、设，“=k”的概率为P（=k）=()2()k-3=()k-3()3(kN*且k3). 所以， 的分布列为：34kP()k-3()3【例3】（2006北京高考，18)某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过，方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a,b,c，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.（）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，
9、 则P（A）=a,P(B)=b,P(C)=c.()应聘者用方案一考试通过的概率P1=P（AB）+P(BC)+P(AC)+P(ABC)=ab(1-c)+bc(1-a)+ac(1-b)+abc=ab+bc+ca-2abc; 应聘者用方案二考试通过的概率P2=P（AB）+P（BC）+P（AC）=（ab+bc+ca).()因为a,b,c0,1,所以P1-P2=(ab+bc+ca)-2abc=ab(1-c)+bc(1-a)+ca(1-b)0, 故P1P2, 即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大.【例4】“禽流感”已经扩散到欧洲、非洲，威胁着全人类.某两个大国的研究所A、B，若独立地研究“禽流感”
10、的疫苗，研制成功的概率分别为和；若资源共享，则提高了效率，即他们研制成功的概率比独立地研究时至少有一个研制成功的概率提高了50%.又疫苗研制成功可获得经济效益a万元，而资源共享时所得的经济效益只能两个研究所平均分配.请你给A研究所参谋：是否应该采用与B研究所合作方式来研究疫苗呢？解：若A研究所独立地研究疫苗，则其经济效益的期望为0+a=a万元. 而两个研究所独立地研究时至少有一个研制成功的概率为1-（1-）（1-）=，两个研究合作研制成功的概率为（1+50%）=.于是若A研究所采用与B研究所合作方式来研究疫苗所获得的经济效益期望为0+a=a万元. 而aa,故应该建议A研究所采用合作方式研究疫苗
11、.【例5】（2006山东临沂二模)某商场准备在五一劳动节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动.（）试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率；（）商场对选出的A商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高90元，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都可获得一定数额的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否是等可能的，请问：商场应将中奖奖金数额最高定为多少元，才能使促销方案对自己有利？解：（）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共可以有种不同的选法. 选出的3种商品中，没
12、有日用商品的选法有种，所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为P=1-=1-.（）假设商场将中奖奖金数额定为x元，则顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,其所有可能的取值为，0，x,2x,3x.=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，所以P（=0）=()3=, 同理可得P(=x)=()()2=, P(=2x)=()2()=,P(=3x)=()3=. 于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望是E=0+x+2x+3x=1.5x. 要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金数的期望值不大于商场的提价数额，因此应有1.5x90,所以x60，故商场应将中奖奖金数额最高定为60元，才能使促销方案对自己有利.
