1、3.1 不等式的基本性质第3章 不等式 学 习 任 务核 心 素 养1结合已有的知识，理解不等式的6 个基本性质(重点)2会用不等式的性质证明(解)不等式(重点)3会用不等式的性质比较数(或式)的大小和求取值范围(难点)1通过大小比较，培养逻辑推理素养2通过不等式性质的应用，培养逻辑推理素养3借助不等式求实际问题，提升数学运算素养.情境导学探新知 NO.1和你的同桌做个游戏：假设有四只盛满水的圆柱形水桶 A，B，C，D，桶 A，B 的底面半径均为 a，高分别为 a 和 b，桶 C，D 的底面半径为 b，高分别为 a 和 b(其中 ab)你们各自从中取两只水桶，得水多者为胜如果让你先取，你有必胜
2、的把握吗？知识点 1 不等式(1)不等式的定义用数学符号“”“b或ab，等价于“a不小于b”，即若ab或ab中有一个正确，则ab正确不等式ab应读作：“a小于或等于b”，其含义是ab或ab，等价于“a不大于b”，即若a0a_b；如果 ab 等于 0，那么 a_b；即 ab0a_b；如果 ab 是负数，那么 a_b；即 abb ab2x2(x2x1)x2x1x122340，ab.1.设 a2x2，bx2x1，则 a 与 b 的大小关系为_知识点 2 不等式的基本性质性质 1:若 ab，则 bb_.性质 2：若 ab，bc，则 ac；(传递性)性质 3：若 ab，则 acbc；(加法保号性)bb，
3、c0，则 acbc；(乘正保号性)若 ab，c0，则 acb，cd，则 acbd；(同向可加性)性质 6：若 ab0，cd0，则 acbd；(全正可乘性)性质 7：如果 ab0，那么_(nN*)(拓展)anbn不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件(2)要注意每条性质是否具有可逆性2.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若 acbc，则 ab.()(2)若 ac bd，则 ab，cd.()(3)若 ab，则1ab，则 ac2bc2；若 ababb2；若 ab，则 a
4、2b2；若 abba.其中正确命题的序号是_(2)求解关于 x 的不等式 ax10(aR)，并用不等式的性质说明理由(1)对于，c20，只有 c0 时才成立，不正确；对于，abab；abb2，正确；对于，若 0ab，则 a22，但(1)2(2)2，不正确；对于，abb0，(a)2(b)2，即 a2b2.又ab0，1ab0，a2 1abb2 1ab，abba，正确所以正确答案的序号是.(2)解 不等式 ax10(aR)两边同时加上1 得ax1(不等式性质 3)，当 a0 时，不等式为 01 恒成立，所以 xR，当 a0 时，不等式两边同时除以 a 得x1a(不等式性质 4)，当 a0 时，不等式
5、两边同时除以 a 得x0 时，不等式的解集为1a，当 a12 因为关于 x 的不等式 axb0 的解集为x|x2，所以 a0 得2axa0，因为 a12，即不等式 bxa0 的解集为xx12.2若关于 x 的不等式 axb0 的解集为x|x0的解集为_类型 2 利用不等式的性质比较代数式的大小【例 2】已知 x1，比较 3x3 与 3x2x1 的大小解 3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1)(3x21)(x1)x1，得 x10.而 3x210，(3x21)(x1)0.3x33x2x1.1将本例中“x1”改为“xR”，再比较 3x3 与 3x2x1 的大小解 3x3(
6、3x2x1)(3x33x2)(x1)(3x21)(x1)，3x210，当 x1 时，x10，3x33x2x1.当 x1 时，x10，3x33x2x1.当 x1 时，x10，3x30,b 0,比较1a1b与 1ab的大小解 法一：(作差法)1a1b 1ababb2a2ababababa2abb2abab，因为 a 0,b 0，所以a2abb2abab 0，所以1a1b 1ab.法二：(作商法)因为 a 0,b 0，所以1a1b与 1ab同为正数，所以1a1b1abab2ab，所以ab2ab1a2abb2ab0，即ab2ab1，因为 1ab0，所以1a1b 1ab.法三：(综合法)因为 a 0,b
7、 0，所以 ab0，所以1a1b(ab)aba abb 2baab1，所以1a1b 1ab.1作差法比较两个数大小的步骤及变形方法(1)作差法比较的步骤：作差变形定号结论(2)变形的方法：因式分解；配方；通分；分母或分子有理化(针对无理式中的二次根式)；分类讨论2作商法比较大小的三个步骤(1)作商变形；(2)与 1 比较大小；(3)得出结论提醒：作商法比较大小仅适用同号的两个数3综合法需要结合具体的式子的特征实施，本题思路为：AB0A1B1.跟进训练3已知实数 a，b，c 满足 bc64a3a2，cb44aa2，则 a，b，c 的大小关系是()AcbaBacbCcbaDacbA cb44aa2
8、(a2)20，cb.又 bc64a3a2，2b22a2，ba21，baa2a1a122340，ba，cba.故选 A.4已知 a，bR，试比较 a2ab 与 3ab4b2 的大小解 因为 a，bR，所以(a2ab)(3ab4b2)a24ab4b2(a2b)2，当 a2b 时，a2ab 3ab4b2，当 a2b 时，a2ab 3ab4b2.类型 3 证明不等式【例 3】若 ab0，cd0，eebd2.思路点拨 可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果证明 cdd0.两边同乘以1ac2bd2，得1ac21bd2.又 eebd2.又ab0，acbd0.(ac)2(bd)2
9、0.本例条件不变的情况下，求证：eac ebd.证明 cdd0.ab0，acbd0，0 1ac 1bd，又e ebd.利用不等式的性质证明不等式的注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则跟进训练5已知 cab0，求证：aca bcb.证明 cab0.ca0，cb0.由ab01a0cacbcaa 0，cb0，aca bcb.类型 4 利用不等式求取值范围【例 4】已知 1a4,
10、2b8.试求 2a3b 与 ab 的取值范围思路点拨 欲求 ab 的范围，应先求b 的范围，再利用不等式的性质求解解 1a4,2b8，22a8,63b24，82a3b32.2b8，8b2，又1a4，1(8)a(b)4(2)，即7ab2，故 82a3b32，7ab2.即 2a3b 的取值范围为(8,32)，ab 的取值范围为(7,2)1在本例条件下，求 ab 的取值范围解 2b8，181b12，又 1a4，18ab2.即ab 的取值范围为18，2.2若本例改为：已知 1ab5，1ab3，求 3a2b 的范围解 法一：设 xab，yab，则 axy2，bxy2，1x5，1y3，3a2b12x52y
11、.又1212x52，5252y152，212x52y10.即23a2b10.所以 3a2b 的范围是2,10法二：设 3a2bm(ab)n(ab)(mn)a(mn)b3a2b，所以mn3，mn2，解得m12，n52，即 3a2b12(ab)52(ab)，因为 1ab5，1ab3，所以1212(ab)52，5252(ab)152，所以212(ab)52(ab)10，即 3a2b 的范围是2,101同向不等式具有可加性，同正具有可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性2已知两个二元一次代数式的范围，求第三个二元一次式的范围，可以用双换元的方法，也
12、可以通过待定系数法，先用已知的两个二元一次代数式表示未知的二元一次式跟进训练6已知22，求2，2 的取值范围解 已知22.424，424，两式相加得22 2.424，424.22 2，又知，2 0，22 0.7已知4ac1，14ac5，求 9ac 的取值范围解 令acx，4acy，得a13yx，c13y4x，9ac83y53x，4x1，5353x203，1y5，8383y403，和相加，得183y53x20，19ac20.当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 B 选项 A，若 a4，b2，c5，显然不成立；选项 C 不满足倒数不等式的条件，如 ab0，c0d 时，不成立；选项 D 只有
13、ab0 时才可以，否则如 a1，b0 时不成立，故选 B.1已知 a，b，c，dR，则下列命题中必成立的是()A若 ab，cb，则 acB若 ab，则 cacbC若 ab，cd，则acbdD若 a2b2，则ab1 2 3 4 5 C ab(3x2x1)(2x2x)x22x1(x1)20，ab.2设 a3x2x1，b2x2x，则()AabBabCabDab1 2 3 4 5(2,0)由11，11，得11.所以22，但，故知20.3若11，则 的取值范围为_1 2 3 4 5(，2)结合题意可知 32()()，且 2()(，)，(0，)，利用不等式的性质可知 3 的取值范围是(，2)4已知角，满足
14、22，0，则 3 的取值范围是_5 1 2 3 4(24,45)13，4 15b36，36b15，又 12a60，1236ab6015，即24ab45，1361b 115，1236ab6015.13ab4.5已知 12a60,15b36.则 ab 的取值范围为_，ab的取值范围为_回顾本节知识，自我完成以下问题1两个代数式的大小关系有哪些？比较大小的方法有哪些？提示 大于、小于、等于作差法、作商法2作差法比较大小的具体步骤有哪些？提示 作差、变形、定号3不等式的证明有哪些方法？提示 可以用比较法(作差或作商法)，也可利用不等式的性质(综合法)点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!
