1、2.4正态分布学习目标：1.了解正态分布的意义.2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质(重点)3.了解正态曲线的意义和性质.4.会利用(x)，F(x)的意义求正态总体小于X的概率(难点)教材整理1正态曲线及正态分布阅读教材P65P66，完成下列问题1正态变量的概率密度函数正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)e，xR.其中，是参数，且0，和分别为正态变量的数学期望和标准差2正态分布的记法期望为、标准差为的正态分布通常记作N(，2)3正态曲线正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线4标准正态分布数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布，记做N(0,1)判断(正确的打“”，错误的
2、打“”)(1)正态变量函数表达式中参数，的意义分别是样本的均值与方差()(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量()(3)正态曲线是一条钟形曲线()(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述()【解析】(1)因为正态分布变量函数表达式中参数是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计(2)(3)由正态分布曲线的形状可知该说法正确(4)因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理
3、2正态曲线的性质及3原则阅读教材P66P67习题以上部分，完成下列问题1正态曲线的性质(1)曲线在x轴的上方，并且关于直线x对称；(2)曲线在x时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；(3)曲线的形状由参数确定，越大，曲线越“矮胖”；越小，曲线越“高瘦”2正态总体在三个特殊区间内取值的概率值若XN(，2)，则P(X)68.3%，P(2X2)95.4%，P(3X3)99.7%.上述结果可用图表示如下：33原则由P(3X0)若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为_【解析】X服从正态分布(1，2)，X在(0,1)与(1,2)内
4、取值的概率相同，均为0.4.X在(0,2)内取值的概率为0.40.40.8.【答案】0.8正态分布的概念及正态曲线的性质【例1】如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差【精彩点拨】给出了一个正态曲线，就给出了该曲线的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、标准差及解析式【解】从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x20对称，最大值是，所以20.由，得.于是概率密度函数的解析式是f(x)e，x(，)，总体随机变量的期望是20，方差是2()22.利用正态曲线的性质可以求参数，具体方法如下：(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x对
5、称，由此性质结合图象求.(2)正态曲线在x处达到峰值，由此性质结合图象可求.1(1)设两个正态分布N(1，)(10)和N(2，)(20)的密度函数图象如图所示，则有()A12，12B12C12，12，12【解析】根据正态分布的性质：对称轴方程x，表示正态曲线的形状由题图可得，选A.【答案】A(2)如图所示是正态分布N(，)，N(，)，N(，)(1，2，30)相应的曲线，那么1，2，3的大小关系是()A123 B321C132 D213【解析】由的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，2越小，故有123.【答案】A服从正态分布变量的概率问题【例2】(1)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4
6、)0.8，则P(02)()A0.6 B0.4C0.3 D0.2(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(1,1)内取值的概率【精彩点拨】(1)根据正态曲线的性质对称性进行求解；(2)题可先求出X在(1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x1对称知，X在(1,1)内取值的概率就等于在(1,3)内取值的概率的一半【解】(1)随机变量X服从正态分布N(2，2)，2，对称轴是x2.P(4)0.8，P(4)P(0)0.2，P(04)0.6，P(02)0.3.故选C.【答案】C(2)由题意得1，2，所以P(1X3)P(12X12)0.6826.又因为正态曲线关于x1对称，所以
7、P(1X1)P(1X3)P(1X3)0.341 3.利用正态分布求概率的两个方法1对称法：由于正态曲线是关于直线x对称的，且概率的和为1，故关于直线x对称的区间上概率相等如：(1)P(Xa)1P(Xa)；(2)P(Xa)2“3”法：利用X落在区间(，)，(2，2)，(3，3)内的概率分别是0.682 6,0.954 4，0.997 4求解2设随机变量XN(2,9)，若P(Xc1)P(Xc1)(1)求c的值；(2)求P(4xc1)P(Xc1)，故有2(c1)(c1)2，所以c2.(2)P(4x8)P(223x223)0.954 4.正态分布的实际应用探究问题1若某工厂生产的圆柱形零件的外直径N(
8、4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？【提示】零件外直径的均值为4，标准差0.5.2某工厂生产的圆柱形零件的外直径N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5内的为一等品试问1 000件这种的零件中约有多少件一等品？【提示】P(3.54.5)P()0.682 6，所以1 000件产品中大约有1 0000.682 6683(件)一等品3某厂生产的圆柱形零件的外直径N(4，0.25)质检人员从该厂生产的1 000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？【提示】由于圆柱形零件的外直径N(4,0.25)，由正态分布的特征
9、可知，正态分布N(4,0.25)在区间(430.5,430.5)，即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7(2.5,5.5)这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的【例3】设在一次数学考试中，某班学生的分数XN(110，202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数【精彩点拨】将P(X90)转化为P(X)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X)0.682 61，进而求出P(X90)的值，同理可解得P(X130)的值【解】110
10、，20，P(X90)P(X11020)P(X)，P(X)P(X)P(X)2P(X)0.682 61，P(X)0.158 7，P(X90)1P(X)10.158 70.841 3.540.841 345(人)，即及格人数约为45人P(X130)P(X11020)P(X)，P(X)P(X)P(X)0.682 62P(X)1，P(X)0.158 7，即P(X130)0.158 7.540.158 79(人)，即130分以上的人数约为9人1本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3区间，由特殊区间的概率值求出2解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(，)，(2，2)，(
11、3，3)三个区间内的概率在此过程中用到归纳思想和数形结合思想3某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布XN(50,102)，求他在(30,60分内赶到火车站的概率【解】XN(50,102)，50，10.P(30X60)P(30X50)P(50X60)P(2X2)P(1230 B01212130 D01213【解析】当0，1时，正态曲线f(x)e.在x0时，取最大值，故21.由正态曲线的性质，当一定时，曲线的形状由确定越小，曲线越“瘦高”；越大，曲线越“矮胖”，于是有01213.【答案】D3若随机变量XN(，2)，则P(X)_.【解析】由于随机变量XN(，2)，其正态密度曲线关于直线X对称，故P(X).【答案】4已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，且P(X4)0.84，则P(X0)_.【解析】由XN(2，2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x2，则P(X0)P(X4)1P(X4)10.840.16.【答案】0.165随机变量服从正态分布N(0,1)，如果P(1)0.841 3，求P(11)10.841 30.158 7，所以P(1)0.158 7，所以P(10)0.50.158 70.341 3.
