1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念学 习 目 标核 心 素 养1了解数集的扩充过程，了解引进复数的必要性(重点)2.理解复数及其相关概念：实部、虚部、虚数、纯虚数等，明确复数的分类(重点、难点)3.掌握复数相等的充要条件，并能应用这一条件解决有关问题(易混点)通过复数的概念学习，提升学生的数学抽象素养.一、复数的概念及分类1数系的扩充及对应的集合符号表示 NZQRC2复数的有关概念3复数的分类(2)集合表示二、两个复数相等的充要条件在复数集Cabi|a，bR中，任取两个复数abi，cdi(a，b，c，dR)，规定abi与cdi相等的
2、充要条件是ac且bd.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若a，b为实数，则zabi为虚数()(2)若a为实数，则za一定不是虚数()(3)bi是纯虚数()(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等()答案(1)(2)(3)(4)2下列命题：若aR，则(a1)i是纯虚数；若(x21)(x23x2)i(xR)是纯虚数，则x1；两个虚数不能比较大小其中正确命题的序号是_解析当a1时，(a1)i0，故错误；两个虚数不能比较大小，故对；若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则即x1，故错答案3如果(xy)ix1，则实数x，y的值分别为_解析(xy)ix1，x1，y1答案1
3、1复数的概念【例1】(1)给出下列三个命题：若zC，则z20；2i1的虚部是2i；2i的实部是0.其中真命题的个数为()A0 B1C2 D3(2)已知复数za2(2b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是_(3)下列命题正确的是_(填序号)若x，yC，则xyi12i的充要条件是x1，y2；若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；实数集的补集是虚数集解析(1)复数的平方不一定大于0，故错；2i1的虚部为2，故错；2i的实部是0，正确，故选B.(2)由题意，得a22，(2b)3，所以a，b5.(3)由于x，y都是复数，故xyi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件
4、，故是假命题当a0时，ai0为实数，故为假命题由复数集的分类知，正确，是真命题答案(1)B(2)，5(3)判断与复数有关的命题是否正确的方法1举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答2化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为abi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部1下列命题中是假命题的是()A自然数集是非负整数集B实数集与复数集的交集为实数集C实数集与虚数集的交集是0D纯虚数集与实数集的交集为空集解析复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公
5、共元素，C是假命题答案C复数的分类【例2】(1)复数za2b2(a|a|)i(a，bR)为纯虚数的充要条件是()A|a|b| Ba0且ab Da0且ab(2)已知mR，复数z(m22m3)i，当m为何值时，z为实数？z为虚数？z为纯虚数？思路探究依据复数的分类列出方程(不等式)组求解解析(1)要使复数z为纯虚数，则a0，ab.故选D.答案D(2)要使z为实数，需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m3.要使z为虚数，需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m1且m3.要使z为纯虚数，需满足0，且m22m30，解得m0或m2.若把上例(1)中的“纯虚数”改为“实数”，则结果如何？解复数
6、z为实数的充要条件是a|a|0，即|a|a，所以a0.利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数zabi(a，bR)为纯虚数的充要条件是a0且b0.复数相等的充要条件探究问题1a0是复数zabi为纯虚数的充分条件吗？提示：因为当a0且b0时，zabi才是纯虚数，所以a0是复数zabi为纯虚数的必要不充分条件232i3i正确吗？提示：不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小【例3】(1)若(xy)yi(x1)i，求实数x，y的值；(2)关于x的方程3x2x1(10x2x2)i有实根，求实数a的值思路探究根据复数相等的
7、充要条件求解解(1)由复数相等的充要条件，得解得(2)设方程的实根为xm，则原方程可变为3m2m1(10m2m2)i，所以解得a11或a.1复数z1abi，z2cdi，其中a，b，c，dR，则z1z2ac且bd.2复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法转化过程主要依据复数相等的充要条件基本思路是：(1)等式两边整理为abi(a，bR)的形式；(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组；(3)解方程组，求出相应的参数3已知x2y26(xy2)i0，求实数x，y的值解由复数相等的条件得方程组由得xy2，代入得y22y10.解得y11，y21.所以x1y12
8、1，x2y221.即或1设集合A实数，B纯虚数，C复数，若全集SC，则下列结论正确的是()AABCBABCA(SB) D(SA)(SB)C解析集合A，B，C的关系如图，可知只有(SA)(SB)C正确答案D2若复数43aa2i与复数a24ai相等，则实数a的值为()A1 B1或4C4 D0或4解析由复数相等的条件得a4.答案C3复数(1)i的实部为_解析复数(1)i0(1)i，实部为0.答案04已知z1m23mmi，z24(5m4)i，其中mR，i为虚数单位，若z1z2，则m的值为_解析由题意得m23mmi4(5m4)i，从而解得m1答案15已知集合M(a3)(b21)i,8，集合N3i，(a21)(b2)i满足MN，求整数a，b.解依题意得(a3)(b21)i3i，或8(a21)(b2)i，或(a3)(b21)i(a21)(b2)i.由得a3，b2，由得a3，b2.中，a，b无整数解不符合题意综上所述得a3，b2或a3，b2或a3，b2.- 8 - 版权所有高考资源网
