1、2014-2015学年重庆市西南大学附中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1若全集U=1，2，3，4，5，6，M=1，4，N=2，3，则集合5，6等于（）A MNB MNC （UM）（UN）D （UM）（UN）2已知复数z1=2+i，z2=12i，若，则=（）A B C iD i3若f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A 必要不充分条件B 充要条件C 充分不必要条件D 既不充分也不必要条件4高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课，如果甲乙两
2、名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为（）A 36B 24C 18D 125曲线y=cosx（0x）与坐标轴围成的面积是（）A 4B C 3D 26设随机变量服从标准正态分布N（0，1）已知（1.96）=0.025，则P（|1.96）=（）A 0.025B 0.050C 0.950D 0.9757已知不等式|a2x|x1，对任意x0，2恒成立，则a的取值范围为（）A （，1）（5，+）B （，2）（5，+）C （1，5）D （2，5）8设函数f（x）定义在实数集上，f（2x）=f（x），且当x1时，f（x）=lnx，则有（）A B C D 9一个篮球运动员投篮一次得3分
3、的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c（0，1），已知他投篮一次得分的均值为2，的最小值为（）A B C D 10从（其中m，n1，2，3）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）A B C D 11函数y=e|lnx|x1|的图象大致是（）A B C D 12设函数，记Ik=|fk（a2）fk（a1）|+|fk（a3）fk（a2）|+|fk（a2016）fk（a2015）|，k=1，2，则（）A I1I2B I1I2C I1=I2D I1，I2大小关系不确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把
4、答案填写在答题卡相应位置上13在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线=8cos于A、B两点，则|AB|=14展开式中的常数项为15设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（2）的值是16已知曲线f（x）=xn+1（nN*）与直线x=1交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+log2015x2014的值为三、解答题：本题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=ax3+bx22x+c在x=2时有极大值6，在x=1时有极小值，（1）求a，b，c的值；（2）求f（x）在区间3
5、，3上的最大值和最小值18某款游戏共四关，玩家只有通过上一关才能继续进入下一关游戏，每通过一关可得10分，现在甲和乙来玩这款游戏，已知甲每关通过的概率是，乙每关通过的概率是（1）求甲、乙两人最后得分之和为20的概率；（2）设甲的最后得分为X，求X的分布列和数学期望19已知定义域为R的函数是奇函数（）求a，b的值；（）若对任意的tR，不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，求k的取值范围20已知椭圆（ab0），F1、F2分别为它的左、右焦点，过焦点且垂直于X轴的弦长为3，且两焦点与短轴一端点构成等边三角形（1）求椭圆C的方程；（2）问是否存在过椭圆焦点F2的弦PQ，使得|PF1|，|PQ|
6、，|QF1|成等差数列，若存在，求出PQ所在直线方程；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=alnx+bx（a，bR）在点（1，f（1）处的切线方程为x2y2=0（1）求a，b的值；（2）当x1时，f（x）+0恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：当nN*，且n2时，+请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分【选修4-1：几何证明选讲】22如图，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C（）证明：CBD=DBA；（）若AD=3DC，BC=，求O的直径【选修4-4：坐标系与参数方程】2015陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为
7、参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为=2sin（）写出C的直角坐标方程；（）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标【选修4-5：不等式选讲】2015陕西）已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4（）求实数a，b的值；（）求+的最大值2014-2015学年重庆市西南大学附中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1若全集U=1，2，3，4，5，6，M=1，4，N=2，3，则集合5，6等于（）A MNB MNC （UM）（UN）
8、D （UM）（UN）考点：交、并、补集的混合运算专题：集合分析：由题意可得5UM，且5UN；6UM，且6UN，从而得出结论解答：解：5M，5N，故5UM，且5UN同理可得，6UM，且6UN，5，6=（UM）（UN），故选：D点评：本题主要考查元素与集合的关系，求集合的补集，两个集合的交集的定义，属于基础题2已知复数z1=2+i，z2=12i，若，则=（）A B C iD i考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出解答：解：复数z1=2+i，z2=12i，=i，则=i故选：D点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，
9、属于基础题3若f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的（）A 必要不充分条件B 充要条件C 充分不必要条件D 既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：函数的性质及应用；简易逻辑分析：利用函数奇函数的定义，结合充分条件和必要条件进行判断即可解答：解：根据奇函数的性质可知，奇函数的定义域关于原点对称，若f（0）=0，则f（x）=f（x）不一定成立，所以y=f（x）不一定是奇函数比如f（x）=|x|，若y=f（x）为奇函数，则定义域关于原点对称，f（x）是定义在R上的函数f（0）=0，即“f（0）=0”是“函数f（x）为奇函数”的必要不充分
10、条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用函数奇函数的定义和性质是解决本题的关键4高三某班上午有4节课，现从6名教师中安排4人各上一节课，如果甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案种数为（）A 36B 24C 18D 12考点：计数原理的应用专题：排列组合分析：由题意，先安排第一节课，从除甲乙丙之外的3人中任选1人，最后一节课丙上，中间的两节课从剩下的4人中任选2人，问题得以解决解答：解：先安排第一节课，从除甲乙丙之外的3人中任选1人，最后一节课丙上，中间的两节课从剩下的4人中任选2人，故甲乙两名教师不上第一节课，丙必须上最后一节课，则不同的安排方案
11、种数为=36种故选：A点评：本题考查了分步计数原理，关键是如何分步，特殊位置优先安排的原则，属于基础题5曲线y=cosx（0x）与坐标轴围成的面积是（）A 4B C 3D 2考点：余弦函数的图象专题：三角函数的图像与性质分析：由条件利用余弦函数的图象的对称性，定积分的意义，可得曲线y=cosx（0x）与坐标轴围成的面积是3=3sinx，计算求的结果解答：解：由条件利用余弦函数的图象的对称性可得曲线y=cosx（0x）与坐标轴围成的面积是3=3sinx=3，故选：C点评：本题主要考查余弦函数的图象的对称性，定积分的意义，属于基础题6设随机变量服从标准正态分布N（0，1）已知（1.96）=0.02
12、5，则P（|1.96）=（）A 0.025B 0.050C 0.950D 0.975考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义专题：计算题分析：根据变量符合正态分布，且对称轴是x=0，得到P（|1.96）=P（1.961.96），应用所给的（1.96）=0.025，条件得到结果，本题也可以这样解根据曲线的对称轴是直线x=0，得到一系列对称关系，代入条件得到结果解答：解：解法一：N（0，1）P（|1.96）=P（1.961.96）=（1.96）（1.96）=12（1.96）=0.950解法二：因为曲线的对称轴是直线x=0，所以由图知P（1.96）=P（1.96）=（1.96）=0.025P（|1
13、.96）=10.250.25=0.950故选C点评：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查对称性，是一个数形结合的问题，是一个遇到一定要得分数的题目7已知不等式|a2x|x1，对任意x0，2恒成立，则a的取值范围为（）A （，1）（5，+）B （，2）（5，+）C （1，5）D （2，5）考点：不等关系与不等式专题：计算题分析：运用绝对值不等式的解法，结合题干利用不等式的性质进行求解解答：解：当0x1时，不等式|a2x|x1，aR；当1x2时，不等式|a2x|x1，即a2x1x或a2xx1，xa1或3x1+a，由题意得1a1或61+a，a2或a5；综上所述，则a的取值范围为（，2）
14、（5，+），故选B点评：此题考查绝对值不等式的性质和不等关系与不等式的关系，此题是一道好题8设函数f（x）定义在实数集上，f（2x）=f（x），且当x1时，f（x）=lnx，则有（）A B C D 考点：对数值大小的比较分析：由f（2x）=f（x）得到函数的对称轴为x=1，再由x1时，f（x）=lnx得到函数的图象，从而得到答案解答：解：f（2x）=f（x）函数的对称轴为x=1x1时，f（x）=lnx函数以x=1为对称轴且左减右增，故当x=1时函数有最小值，离x=1越远，函数值越大故选C点评：本题考查的是由f（ax）=f（b+x）求函数的对称轴的知识与对数函数的图象9一个篮球运动员投篮一次得3
15、分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c（0，1），已知他投篮一次得分的均值为2，的最小值为（）A B C D 考点：基本不等式在最值问题中的应用；离散型随机变量的期望与方差专题：计算题；数形结合分析：依题意可求得3a+2b的值，进而利用=1把转化为（）展开后利用基本不等式求得问题的答案解答：解：由题意得3a+2b=2，=（）=故选D点评：本题主要考查了基本不等式的应用解题的关键是构造出+的形式10从（其中m，n1，2，3）所表示的圆锥曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为（）A B C D 考点：双曲线的标准方程；列举法
16、计算基本事件数及事件发生的概率专题：计算题；压轴题分析：m和n的所有可能取值共有33=9个，其中有两种不符合题意，故共有7种，可一一列举，从中数出能使方程是焦点在x轴上的双曲线的选法，即m和n都为正的选法数，最后由古典概型的概率计算公式即可得其概率解答：解：设（m，n）表示m，n的取值组合，则取值的所有情况有（1，1），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共7个，（注意（1，2），（1，3）不合题意）其中能使方程是焦点在x轴上的双曲线的有：（2，2），（2，3），（3，2），（3，3）共4个此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为故选B点评：本题考查了古典概型
17、概率的求法，椭圆、双曲线、抛物线的标准方程，列举法计数的技巧，准确计数是解决本题的关键11函数y=e|lnx|x1|的图象大致是（）A B C D 考点：对数的运算性质；函数的图象与图象变化分析：根据函数y=e|lnx|x1|知必过点（1，1），再对函数进行求导观察其导数的符号进而知原函数的单调性，得到答案解答：解：由y=e|lnx|x1|可知：函数过点（1，1），当0x1时，y=elnx1+x=+x1，y=+10y=elnx1+x为减函数；若当x1时，y=elnxx+1=1，故选D点评：本题主要考查函数的求导与函数单调性的关系12设函数，记Ik=|fk（a2）fk（a1）|+|fk（a3）f
18、k（a2）|+|fk（a2016）fk（a2015）|，k=1，2，则（）A I1I2B I1I2C I1=I2D I1，I2大小关系不确定考点：函数的值专题：函数的性质及应用分析：由于f1（ai+1）f1（ai）=可得I1=|2015由于fi+1（ai+1）fi（ai）=log2016log2016=log2016即可得出I2=log20152015，进而得到答案解答：解：f1（ai+1）f1（ai）=I1=|f1（a2）f1（a1）|+|f1（a3）f1（a2）|+|f1（a2015）f1（a2014）|=|2015=f2（ai+1）f2（ai）=log2016log2016=log201
19、6I2=|f2（a2）f2（a1）|+|f2（a3）f2（a2）|+|f2（a2015）f2（a2014）|=log2016（）=log20162016=1，I1I2故选：A点评：本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填写在答题卡相应位置上13在极坐标系中，若过点（3，0）且与极轴垂直的直线交曲线=8cos于A、B两点，则|AB|=考点：简单曲线的极坐标方程专题：坐标系和参数方程分析：由=8cos化为2=8cos，化为（x4）2+y2=16把x=3代入解出即可得出解答：解：由=8cos化为2=8cos，x2+y2=8x，
20、化为（x4）2+y2=16把x=3代入可得y2=15，解得y=|AB|=2故答案为：2点评：本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于基础题14展开式中的常数项为160考点：二项式系数的性质专题：二项式定理分析：写出二项式的通项，直接由x得系数为0求得r的值，再代入通项求得答案解答：解：由，得=xr3由r3=0，得r=3展开式中的常数项为=160故答案为：160点评：本题考查了二项式定理，考查了二项式的展开式，是基础的计算题15设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（2）的值是考点：奇函数分析：利用奇函数的定义f（x）=f（x）即可整理出
21、答案解答：解：由题意知g（2）=f（2），又因为f（x）是奇函数，所以f（2）=f（2）=22=，故答案为点评：本题考查奇函数的定义f（x）=f（x）16已知曲线f（x）=xn+1（nN*）与直线x=1交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+log2015x2014的值为1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；对数的运算性质专题：导数的综合应用；等差数列与等比数列分析：由f（x）=（n+1）xn，知k=f（x）=n+1，故点P（1，1）处的切线方程为：y1=（n+1）（x1），令y=0，得xn=，由此能求出log2015x
22、1+log2015x2+log2015x2014的值解答：解：f（x）=（n+1）xn，k=f（x）=n+1，点P（1，1）处的切线方程为：y1=（n+1）（x1），令y=0得，x=1=，即xn=，x1x2x2014=，则log2015x1+log2015x2+log2015x2014=log2015（x1x2x2015）=log2015=1故答案为：1点评：本题考查利用导数求曲线上某点的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数性质的灵活运用三、解答题：本题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知函数f（x）=ax3+bx22x+c在x=2时有极大值6，在x
23、=1时有极小值，（1）求a，b，c的值；（2）求f（x）在区间3，3上的最大值和最小值考点：利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题分析：（1）因为函数f（x）=ax3+bx22x+c在x=2时有极大值6，在x=1时有极小值得到三个方程求出a、b、c；（2）令f（x）=x2+x2=0解得x=2，x=1，在区间3，3上讨论函数的增减性，得到函数的最值解答：解：（1）f（x）=3ax2+2bx2由条件知解得a=，b=，c=（2）f（x）=，f（x）=x2+x2=0解得x=2，x=1由上表知，在区间3，3上，当x=3时，fmax=；当x=1，fmin=点评：考查函数利用导数研
24、究函数极值的能力，利用导数研究函数增减性的能力18某款游戏共四关，玩家只有通过上一关才能继续进入下一关游戏，每通过一关可得10分，现在甲和乙来玩这款游戏，已知甲每关通过的概率是，乙每关通过的概率是（1）求甲、乙两人最后得分之和为20的概率；（2）设甲的最后得分为X，求X的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列专题：概率与统计分析：（1）设“甲、乙最后得分之和为20”为事件A，“甲0分，乙（20分）”为事件B，“甲（10分），乙（10分）”为事件C，“甲（20分），乙0分”为事件D，利用独立重复试验的概率求解即可（2）X的所有可能取值为0，10，20，30，4
25、0求出概率得到X分布列，然后求解期望即可解答：解：（1）设“甲、乙最后得分之和为20”为事件A，“甲0分，乙（20分）”为事件B，“甲（10分），乙（10分）”为事件C，“甲（20分），乙0分”为事件D则，则（6分）（2）X的所有可能取值为0，10，20，30，40，X分布列为X010203040P（12分）点评：本题考查独立重复试验的概率的求法，分布列以及期望的求法，考查计算能力19已知定义域为R的函数是奇函数（）求a，b的值；（）若对任意的tR，不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，求k的取值范围考点：指数函数单调性的应用；奇函数专题：压轴题分析：（）利用奇函数定义，在f（x）=f
26、（x）中的运用特殊值求a，b的值；（）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t22t）+f（2t2k）0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围解答：解：（）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即又由f（1）=f（1）知所以a=2，b=1经检验a=2，b=1时，是奇函数（）由（）知，易知f（x）在（，+）上为减函数又因为f（x）是奇函数，所以f（t22t）+f（2t2k）0等价于f（t22t）f（2t2k）=f（k2t2），因为f（x）为减函数，由上式可得：t22tk2t2即对一切tR有：3t22tk0，从而判别式所以k的取值范围是k点
27、评：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略20已知椭圆（ab0），F1、F2分别为它的左、右焦点，过焦点且垂直于X轴的弦长为3，且两焦点与短轴一端点构成等边三角形（1）求椭圆C的方程；（2）问是否存在过椭圆焦点F2的弦PQ，使得|PF1|，|PQ|，|QF1|成等差数列，若存在，求出PQ所在直线方程；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由条件列出方程组，求出椭圆的几何量a，b，然后求解椭圆方程（2）不存在推出显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，推出矛盾结果；当直线PQ斜率存在时，设它
28、的斜率为k，得到直线PQ的方程为y=k（x1）（k0），代入椭圆C的方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式，推出结果即可解答：解：（1）由条件过焦点且垂直于X轴的弦长为3，且两焦点与短轴一端点构成等边三角形得，所以椭圆方程为（4分）（2）不存在由条件得：|PF1|+|PQ|+|QF1|=3|PQ|=8，则显然直线PQ不与x轴重合，当PQ与x轴垂直，即直线PQ斜率不存在时，当直线PQ斜率存在时，设它的斜率为k，则直线PQ的方程为y=k（x1）（k0），代入椭圆C的方程，消去y并整理得：（4k2+3）x28k2x+4k212=0，=144（k2+1）0，设P（x1，y
29、1），Q（x2，y2），则，当时，k无解 （12分）点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查计算能力以及转化思想的应用21已知函数f（x）=alnx+bx（a，bR）在点（1，f（1）处的切线方程为x2y2=0（1）求a，b的值；（2）当x1时，f（x）+0恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：当nN*，且n2时，+考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：（1）利用函数在点（1，f（1）处的导数值即曲线的斜率及点在曲线上求得a，b的值；（2）当x1时，f（x）+0恒成立，等价于k0.5x2xlnx，构造函数，求最值，即可
30、求实数k的取值范围；（3）证明=，把x=1，2，n分别代入上面不等式，并相加得结论解答：（1）解：f（x）=alnx+bx，f（x）=+b直线x2y2=0的斜率为0.5，且过点（1，0.5），（1分）f（1）=0.5，f（1）=0.5解得a=1，b=0.5（3分）（2）解：由（1）得f（x）=lnx0.5x当x1时，f（x）+0恒成立，等价于k0.5x2xlnx（4分）令g（x）=0.5x2xlnx，则g（x）=x1lnx（5分）令h（x）=x1lnx，则h（x）=当x1时，h（x）0，函数h（x）在（1，+）上单调递增，故h（x）h（1）=0（6分）从而，当x1时，g（x）0，即函数g（x）
31、在（1，+）上单调递增，故g（x）g（1）=0.5（7分）k0.5（9分）（3）证明：由（2）得，当x1时，lnx0.5x+0，可化为xlnx，（10分）又xlnx0，从而，=（11分）把x=2，n分别代入上面不等式，并相加得，+1+=1+=（14分）点评：本题属导数的综合应用题，考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的最值，考查不等式的证明，有难度请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分【选修4-1：几何证明选讲】22如图，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C（）证明：CBD=DBA；（）若AD=3DC，BC=
32、，求O的直径考点：直线与圆的位置关系专题：直线与圆分析：（）根据直径的性质即可证明：CBD=DBA；（）结合割线定理进行求解即可求O的直径解答：证明：（）DE是O的直径，则BED+EDB=90，BCDE，CBD+EDB=90，即CBD=BED，AB切O于点B，DBA=BED，即CBD=DBA；（）由（）知BD平分CBA，则=3，BC=，AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=ADAE，即AE=，故DE=AEAD=3，即可O的直径为3点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键【选修4-4：坐标系与参数方程】2015陕西）在直角坐标系xOy中，直线
33、l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为=2sin（）写出C的直角坐标方程；（）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标考点：点的极坐标和直角坐标的互化专题：坐标系和参数方程分析：（I）由C的极坐标方程为=2sin化为2=2，把代入即可得出；（II）设P，又C利用两点之间的距离公式可得|PC|=，再利用二次函数的性质即可得出解答：解：（I）由C的极坐标方程为=2sin2=2，化为x2+y2=，配方为=3（II）设P，又C|PC|=2，因此当t=0时，|PC|取得最小值2此时P（3，0）点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程的应用、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题【选修4-5：不等式选讲】2015陕西）已知关于x的不等式|x+a|b的解集为x|2x4（）求实数a，b的值；（）求+的最大值考点：不等关系与不等式专题：不等式的解法及应用分析：（）由不等式的解集可得ab的方程组，解方程组可得；（）原式=+=+，由柯西不等式可得最大值解答：解：（）关于x的不等式|x+a|b可化为baxba，又原不等式的解集为x|2x4，解方程组可得；（）由（）可得+=+=+=2=4，当且仅当=即t=1时取等号，所求最大值为4点评：本题考查不等关系与不等式，涉及柯西不等式求最值，属基础题
