1、9.12 球巩固夯实基础 一、自主梳理 1.到定点的距离小于或等于定长的点的集合叫做球,到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面.过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长叫做两点的球面距离. 2.平面截球所得的截面是圆. 3.S球=4R2;V球=R3. 二、点击双基1.下列四个命题中错误的个数是( )经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆 球面积是大圆面积的四倍球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长A.0 B.1 C.2 D.3解析:错误.答案:C2.(2004江苏高考)一平面截一球得到直径为6 cm的圆面,球心到这个平面的距离是4 cm,则该球的体积是（ ）A
2、. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3答案:C3.若三球的半径之比是123,那么半径最大的球体积是其余两球体积和的_倍.( )A.4 B.3 C.2 D.1解析:三球体积之比为1827.答案:B4.(2004北京高考,理)某地球仪上北纬30纬线的长度为12 cm，该地球仪的半径是_cm,表面积是_cm2.解析:如图所示, 2r=12, r=6(cm). 设地球仪半径为R,则=sin60. R=4(cm), 表面积S=4R2=192(cm2).答案:4 1925.长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ）A.20 B.25 C.50
3、 D.200解析:设球的半径为R，则（2R）2=32+42+52=50， R=.S球=4R2=50.答案:C诱思实例点拨【例1】球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过这3个点的小圆的周长为4,那么这个球的半径为（ ）A.4 B.2 C.2 D.解法一:过O作OO平面ABC,O是垂足,则O是ABC的中心,则OA=r=2,又因为AOC=3,OA=OC知OA=ACOA.所以OAOA2OA.因为OA=R,所以2R4.因此,排除A、C、D,得B.解法二:在正三角形ABC中,应用正弦定理,得AB=2rsin60=2. 因为AOB=,所以侧面AOB是正三角形,得球半径R=OA=AB=2
4、.解法三:因为正三角形ABC的外径r=2, 故高AD=r=3,D是BC的中点. 在OBC中,BO=CO=R,BOC=, 所以BC=BO=R,BD=BC=R. 在RtABD中,AB=BC=R,所以由AB2=BD2+AD2,得R2=R2+9,所以R=2.答案:B链接提示 1.本题以球为载体考查了直线的关系、解三角形等知识,将空间图形的计算转化为平面图形中求正三角形外接圆半径及勾股定理的使用,并运用方程的思想. 2.正确区别球面上两点之间的直线距离与球面距离;计算A、B两点间的球面距离关键是搞清纬度、经度、经度差、纬度差等概念,具体步骤是: (1)计算线段AB的长度; (2)计算A、B到球心O的张角
5、; (3)计算球大圆在A、B两点间所夹的劣弧长.【例2】已知球的两个平行截面的面积分别为49、400,且两个截面之间的距离为9,求球的表面积.剖析:先画出过球心且垂直于已知截面的球的大圆截面,再根据球的性质和已知条件列方程求出球的半径.注意:由于球的对称性,应考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的同侧或异侧的情形,加以分类讨论.解:右图为球的一个大圆截面. O1A2=49,则O1A=7. 又O2B2=400, O2B=20. (1)当两截面在球心同侧时,OO1-OO2=9=-,解得R2=625,S球=4R2=2 500. (2)当两截面在球心异侧时,OO1+OO2=9=+,无解. 综上,所求球
6、的表面积为2 500.链接提示 球的截面的性质是解决与球有关的问题的重要一环,特别是有关球的计算问题中,R2=d2+r2(R、r、d分别表示球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离)起着重要的作用.【例3】把三个半径都是R的球两两相切地放在桌面上,第四个球放在三个球中间(也在桌面上),且与三个球都相切,求第四个球的半径.解:如图所示,设O1、O2、O3分别为半径为R的球的球心,则O1O2=O2O3=O3O1=2R.O为第四个球的球心,设其半径为r,则OO1=OO2=OO3=R+r, 因此OO1O2O3为一个正三棱锥,O点在底面O1O2O3的射影H是正三角形的中心, 所以O2H=O2O3=R. 在RtOHO2中,OH=R-r,O2H=R,OO2=R+r, (R+r)2=(R-r)2+(R)2.r=R,即第四个球的半径为R.
