1、章末检测(三)函数的概念与性质(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知函数f(x)ax3bx2，f(2 020)3，则f(2 020)()A7B5C3 D3解析：选Af(2 020)a2 0203b2 02023，a2 0203b2 0205，f(2 020)a2 0203b2 0202527.2若a0，则函数y|x|(xa)的图象的大致形状是()解析：选B函数y|x|(xa)当x0时，函数yx(xa)的图象为开口向上的抛物线的一部分，与x轴的交点坐标为(0，0)，(a，0)当x0时，x0，
2、f(x)x3，又f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)x3bx3，所以a4，b1，所以f(x)所以f(2)(2)3817.故选B.7已知函数f(x)的图象关于直线x1对称，且在(1，)上单调递增，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()Acba BbacCbca Dabc解析：选B函数f(x)的图象关于直线x1对称，aff.又f(x)在(1，)上单调递增，f(2)ff(3)，即bac.8定义在(0，)上的函数f(x)满足0的解集为()A(4，) B(0，4)C(0，2) D(2，)解析：选C由题意，设g(x)xf(x)，因为0，即0，即0，等价于xf(x)80，即xf(x)
3、8，又由f(2)4，则g(2)2f(2)8，所以不等式xf(x)8的解集为(0，2)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2.则函数f(x)(1x)x(2x)，x2，2的值可以等于()A6 B1C4 D6解析：选ABC由题意知f(x)(1x)x(2x)易知函数f(x)在2，2上单调递增，所以f(x)4，6，所以函数f(x)的值可以为4，1，6.故选ABC.10下列说法正确的是()A函数f(x)的值域是2，2，则函数f(x1)的
4、值域为3，1B既是奇函数又是偶函数的函数有无数个C若ABB，则ABAD函数f(x)的定义域是2，2，则函数f(x1)的定义域为3，1解析：选BCD由f(x)与f(x1)的值域相同知，A错误；设f(x)0，且xD，D是关于原点对称的区间，则f(x)既是奇函数又是偶函数，由于D有无数个，故f(x)有无数个，B正确；由ABB得，AB，从而ABA，C正确；由2x12得3x1，D正确故选B、C、D.11对于定义域为D的函数yf(x)，若同时满足下列条件：f(x)在D内单调递增或单调递减；存在区间a，bD，使f(x)在a，b上的值域为a，b那么把yf(x)(xD)称为闭函数下列结论正确的是()A函数yx2
5、1是闭函数B函数yx3是闭函数C函数f(x)是闭函数Dk2时，函数yk是闭函数解析：选BD因为yx21在定义域R上不是单调函数，所以函数yx21不是闭函数，A错误；yx3在定义域上是减函数，由题意设a，bD，则解得因此存在区间1，1，使yx3在1，1上的值域为1，1，B正确；f(x)1，在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递增，所以函数在定义域上不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数，C错误；若yk是闭函数，则存在区间a，b，使函数f(x)的值域为a，b，即所以a，b为方程xk的两个实数根，即方程x2(2k1)xk220(x2，xk)有两个不等的实根当k2时，有解得2时，有此不等式组无解
6、综上所述，k，因此D正确故选B、D.12具有性质：ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数中满足“倒负”变换的函数是()Af(x)x Bf(x)xCf(x) Df(x)解析：选AC对于A，fxf(x)，满足“倒负”变换对于B，fxxf(x)f(x)，不满足“倒负”变换对于C，当0x1，fxf(x)；当x1时，1，f0f(x)；当x1时，01，ff(x)，满足“倒负”变换对于D，当0x1，fxf(x)，不满足“倒负”变换三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13已知函数f(x)，则该函数的单调递增区间为_解析：设tx22x3，由t0，即x22x3
7、0，解得x1或x3，所以函数f(x)的定义域为(，13，)因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1，所以函数t在(，1上单调递减，在3，)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为3，)答案：3，)14若关于x的函数f(x)(t0)的最大值为M，最小值为m，且Mm4，则实数t的值为_解析：由题意得，函数f(x)t，令g(x)，可得函数g(x)g(x)，所以函数g(x)为奇函数，因为函数f(x)的最大值为M，最小值为m，且Mm4，所以Mt(mt)，即2tMm4，所以t2.答案：215已知函数f(x)x24xa3，aR.(1)若函数f(x)的图象与x轴无交点，则实数a的取值范围为_；(2)若函数
8、f(x)在1，1上与x轴有交点，则实数a的取值范围为_解析：(1)f(x)的图象与x轴无交点，164(a3)1，即实数a的取值范围为(1，)(2)函数f(x)的图象的对称轴为直线x2，且开口向上，f(x)在1，1上单调递减，要使f(x)在1，1上与x轴有交点，需满足即8a0，即实数a的取值范围为8，0答案：(1)(1，)(2)8，016记实数x1，x2，xn中的最大数为maxx1，x2，xn，最小数为minx1，x2，xn，则minx1，x2x1，x6的最大值为_解析：如图所示，yminx1，x2x1，x6的图象为图中的实线部分，则易知所求最大数即为图中B点的纵坐标又B，故所求最大值为.答案：
9、四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知函数f(x)(1)画出函数f(x)的大致图象；(2)写出函数f(x)的最大值和单调递减区间解：(1)函数f(x)的大致图象如图所示(2)由函数f(x)的图象得出，f(x)的最大值为2，函数的单调递减区间为2，418(本小题满分12分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，bR，当ab0时，都有0.(1)若ab，试比较f(a)与f(b)的大小关系；(2)若f(1m)f(32m)0，求实数m的取值范围解：(1)因为ab，所以ab0，由题意得0，所以f(a)f(b)0.又f(x)是定
10、义在R上的奇函数，所以f(b)f(b)，所以f(a)f(b)0，即f(a)f(b)(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，因为f(1m)f(32m)0，所以f(1m)f(32m)，即f(1m)f(2m3)，所以1m2m3，所以m4.所以实数m的取值范围为(，419(本小题满分12分)已知函数f(x)|x|1(x0)(1)当m2时，判断f(x)在(，0)的单调性，并用定义证明；(2)若对任意xR，不等式f(2x)0恒成立，求m的取值范围解：(1)当m2，且x0时，f(x)x1是单调递减的证明：设x1x20，则f(x1)f(x2)x11(x2x1)(x2x1)(x2x1)，又x1x20，x1
11、x20，所以(x2x1)0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故当m2时，f(x)x1在(，0)上单调递减(2)由f(2x)0得|2x|10，变形为(2x)22xm0，即m2x(2x)2，而2x(2x)2，当2x时，即x1时，(2x(2x)2)max，所以m.20(本小题满分12分)已知函数f(x)x2mxm.(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值；(2)若函数f(x)在1，0上单调递减，求实数m的取值范围；(3)是否存在实数m，使得f(x)在2，3上的值域恰好是2，3？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由解：(1)f(x)m，则最大值m0，即m24m0，解得m
12、0或m4.(2)函数f(x)图象的对称轴是x，要使f(x)在1，0上单调递减，应满足1，解得m2.(3)当2，即m4时，f(x)在2，3上递减，若存在实数m，使f(x)在2，3上的值域是2，3，则即此时m无解当3，即m6时，f(x)在2，3上递增，则即解得m6.当23，即4m6时，f(x)在2，3上先递增，再递减，所以f(x)在x处取得最大值，则fmm3，解得m2或6，舍去综上可得，存在实数m6，使得f(x)在2，3上的值域恰好是2，321(本小题满分12分)某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每小时可获得的利润是万元(1)要使生产该产品2小时获得的利润不
13、低于30万元，求x的取值范围；(2)要使生产120千克该产品获得的利润最大，则该工厂应该选取何种生产速度？并求出最大利润解：(1)由题意可知，230.所以5x214x3(5x1)(x3)0，所以x或x3.又1x10，所以3x10.所以x的取值范围是3，10(2)易知获得的利润y120，x1，10，令t，则y120(3t2t5)当t，即x6时，ymax610，故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最大，且最大利润为610万元22(本小题满分12分)已知函数f(x)ax2mxm1(a0)(1)若f(1)0，判断函数f(x)的零点个数；(2)若对任意实数m，函数f(x)恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围；(3)已知x1，x2R且x10，函数f(x)有两个零点(2)已知a0，则1m24a(m1)0对于mR恒成立，即m24am4a0恒成立，216a216a0，解得0a1.即实数a的取值范围为(0，1)(3)证明：设g(x)f(x)f(x1)f(x2)，则g(x1)f(x1)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)，g(x2)f(x2)f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)f(x1)f(x2)，g(x1)g(x2)f(x1)f(x2)20，g(x)0在区间(x1，x2)上有实数根即方程f(x)f(x1)f(x2)在区间(x1，x2)上有实数根
