1、江苏省姜堰二中2022-2022学年高二数学上学期期中试题 文（考试时间：120分钟 满分：160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置1 设复数（为虚数单位），则的共轭复数为 2在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的，且第一组数据的频数为25，则样本容量为 3某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取60名学生进行调查，则应从丁专业抽取的学生人数为 4 某地区连续5天的最低气温（单位：C）依次为8，-4，
2、-1，0，2，则该组数据的方差为 5已知物体运动的方程为，则t=2时的瞬时速度为 6袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_.7某圆锥的侧面展开图是面积为且圆心角为的扇形，此圆锥的体积为 8在上随机地取一个数，则事件“直线与有公共点”发生的概率为 9 在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 10 如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥DA1BC的体积是 11已知是抛物线：的焦点，是上一点，的延长线交轴于点若是的中点，则的长度为 12若函数
3、在x=1处取得极小值，则实数a的取值范围是 13圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是 14已知F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤15（本小题满分14分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中求证：（1）A1CBD；（2）平面AB1D1平面BC1D16（本小题满分14分）已知函数（1）当a=1时，求曲线在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）若函数只有一个零点，求a的取值范围. 17（本小题满分14分）如图，
4、在平面直角坐标系中，已知圆及点，（1）若直线平行于，与圆相交于，两点，求直线的方程；（2）在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由18（本小题满分16分）已知函数，.（1）若曲线与直线相切且相切于点，求切点P坐标及实数的值；（2）记，求在上的最大值；19（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且过点OxyABPEF（第18题）设为椭圆在第一象限上的点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，且交轴于点，交轴于点（1）求的值；（2）若为椭圆的右焦点，求点的坐标；（3）求证：四边形的面积为定值 20（本小题满分16分）设椭圆C：的离心率，直线与以原点为圆心、椭圆C的
5、短半轴长为半径的圆O相切（1）求椭圆C的方程；（2）设直线与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆D，若圆D与y轴相交于不同的两点A，B，求ABD的面积；（3）如图，A1，A2，B1，B2是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线B2P交x轴于点F，直线A1B2交A2P于点E，设A2P的斜率为k，EF的斜率为m，求证：2mk为定值高二数学期中考试参考答案 1 【解析】由于，所以的共轭复数为2150【解析】设第一个小矩形面积为，由，得，从而样本容量为3 解析：由题意可得：甲、乙、丙、丁四个专业人数之比为，所以100名学生中丁专业抽取人数为人.41656 789【解析】一条渐近线
6、与右准线的交点为，其到另一条渐近线的距离为1011如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于点，所以，所以12a113或1415（1）证明：在正方体ABCDA1B1C1D1中，则有DBAC，DBAA1，且AA1AC=A，DB面AA1C1C，A1C面AA1C1C，A1CBD；7分（2）四边形ABC1D1是平行四边形，AD1BC1，又DBB1D1，AD1面AD1B1，B1D1面AD1B1，BD面DBC1，BC1面DBC1，且AD1 D1B1=D1平面AB1D1平面BC1D7分17（1）圆的标准方程为，所以圆心，半径为因为，所以直线的斜率为，设直线的方程为， 2分则圆心到直线的距离为4分因为，而，所以，
7、 6分解得或，故直线的方程为或8分（2）假设圆上存在点，设，则， 即，即， 10分 因为，12分 所以圆与圆相交， 所以点的个数为14分18解：（1）由，知，解得， 又可求得点为，3分所以代入，得.6分（2）因为，所以.当，即时，此时在上单调递增，所以； 8分当即时，当时，单调递减，当时，单调递增，.(i)当，即时，；10分(ii) 当，即时，12分当，即时，此时在上单调递减，所以. 14分综上，当时，；当时，. 16分19(本小题满分16分)解：（1）依题意，其中， 解得因为，所以 4分 （2）由（1）知，椭圆的右焦点为，椭圆的方程为，所以从而直线的方程为： 由得，从而直线的方程为：令，得，
8、所以点的坐标为 9分 （3）设（），且，即则直线的方程为：，令，得11分直线的方程为：，令，得 13分 所以四边形的面积 16分20【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由于直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切，可得=b，解得b又离心率e=，b2=a2c2，联立解得即可得出（2）把x=代入椭圆方程可得：，可得D的方程为：令x=0，解得y，可得|AB|，利用SABD=即可得出（3）由（1）知：A1（2，0），A2（2，0），B2（0，1），可得直线A1B2AD的方程，设直线A2P的方程为y=k（x2），k0，且k，联立解得E设P（x1，y1），与椭圆方程联立可得（4k2+1
9、）x216k2x+16k24=0解得P设F（x2，0），则由P，B2，F三点共线得，可得F即可证明2mk为定值【解答】（1）解：直线y=x+与以原点为圆心、椭圆C的短半轴长为半径的圆O相切，=b，化为b=1离心率e=，b2=a2c2=1，联立解得a=2，c=椭圆C的方程为=1；4分（2）解：把x=代入椭圆方程可得：，解得y=D的方程为：令x=0，解得y=，|AB|=，SABD=9分（3）证明：由（1）知：A1（2，0），A2（2，0），B2（0，1），直线A1B2的方程为，11分由题意，直线A2P的方程为y=k（x2），k0，且k，由，解得设P（x1，y1），则由，得（4k2+1）x216k2x+16k24=02x1=，x1=，y1=k（x12）=13分设F（x2，0），则由P，B2，F三点共线得，即=，x2=，FEF的斜率m=15分2mk=k=为定值16分- 11 -
