1、第二课时用有向线段表示三角函数如图，已知锐角的终边交单位圆(圆心在原点，半径为单位长度的圆)于点P，过点P作PMOA于M，过A作单位圆的切线，交锐角的终边于T.问题试用锐角的三角函数表示OM，MP，AT?知识点有向线段与三角函数线1有向线段的概念规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段规定：以坐标轴的方向为有向线段的正方向2三角函数线有向线段，分别叫作角的正弦线、余弦线和正切线其中有向线段DP，OD，AT的方向和长度分别代表了sin ，cos ，tan 的符号和绝对值、正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线1三条有向线段与x轴或y轴正方向同向的为正向线段，为正值；与x轴或y轴负方向同
2、向的为负向线段，为负值 2单位圆中的三角函数线是数形结合的有效工具，借助它，不但可以解决比较大小、解三角方程、解三角不等式等问题，而且可以直观地研究同角三角函数间的基本关系1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)三角函数线的长度等于三角函数值()(2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负()(3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线()答案：(1)(2)(3)2已知角的正弦线的长度为单位长度，那么角的终边()A在x轴上B在y轴上C在直线yx上 D在直线yx上答案：B3sin 1.5_ sin 1.2.(填“”或“三角函数线的作法例1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：(1)70；(2
3、)110；(3).解(1)如图，有向线段MP为70角的正弦线，有向线段OM为70角的余弦线，有向线段AT为70角的正切线(2)如图，有向线段MP为110角的正弦线，有向线段OM为110角的余弦线，有向线段AT为110角的正切线(3)在平面直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆，如图所示，以x轴的正半轴为始边作的终边，与单位圆交于点P，作PMx轴于点M，过单位圆与x轴正半轴的交点A作x轴的垂线，与OP的反向延长线交于点T，则有向线段MP，OM，AT分别为角的正弦线、余弦线、正切线三角函数线的作法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到
4、正弦线和余弦线；(2)作正切线时，应从A(1，0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可得到正切线AT，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延长，再按上述作法来作正切线 跟踪训练作出的正弦线、余弦线和正切线解：如图所示，的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.三角函数线的应用角度一利用三角函数线比较大小例2利用三角函数线比较下列各组数的大小：sin 与sin ；tan 与tan .解如图所示，角的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PMx轴，垂足为M，则sin MP，tan AT；角的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的
5、过点A的切线的交点为T，作PMx轴，垂足为M，则sin MP，tan AT，由图可知，|MP|MP|，且MP与MP都与y轴正方向相同，所以sinsin；|AT|AT|，且AT与AT都与y轴正方向相反，所以tantan.角度二利用三角函数线解不等式例3在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围，并由此写出角的集合：(1)sin ；(2)cos .解(1)作直线y交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(图阴影部分)即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为.(2)作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的
6、角的集合为.角度三利用三角函数线求函数的定义域例4求函数f(x)ln的定义域解由题意，得自变量x应满足不等式组即则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，即定义域为.1利用三角函数线比较大小的两个关注点(1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值；(2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向2利用三角函数线解三角不等式的方法正弦、余弦型不等式的解法对于sin xb，cos xa(sin xb，cos xa)，求解关键是寻求恰当的点，只需作直线yb或xa与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再
7、根据方向即可确定相应的范围正切型不等式的解法对于tan xc，取点(1，c)连接该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围 3利用三角函数线求函数的定义域解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想跟踪训练若02，且sin .利用三角函数线，得到的取值范围是_解析：利用三角函数线得的终边落在如图所示AOB区域内，所以的取值范围是.答案：1下列三个命题：与的正弦线相等；与的正切线相等；与的余弦线相等其中正确命题的个数为()A1B2C3
8、 D0解析：选B和的正弦线关于y轴对称，大小相等，方向相同；和两角的终边在同一条直线上，因而所作正切线相等；和的余弦线方向不同2使sin xcos x成立的x的一个变化区间是()A. BC. D0，解析：选A如图，画出三角函数线sin xMP，cos xOM，由于sincos，sin cos ，为使sin xcos x成立，则由图可得x.3若，试判断sin cos 与1的大小关系，并给出证明解：若，则sin cos 1.证明：设角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，则角的终边与单位圆的交点P在第一象限，设点P的坐标为(x，y)法一：易知0x1，0y1，所以xy1.由三角函数的定义可知sin y，cos x，所以sin cos 1.法二：如图，过点P作PMx轴，垂足为M，则sin MP，cos OM，OP1，由三角形两边之和大于第三边，可知MPOMOP，即sin cos 1.
