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2019-2020学年人教B版数学必修五讲义:第1章 1-2 第3课时 三角形中的几何计算 WORD版含答案.doc

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资源描述

1、高考资源网() 您身边的高考专家第3课时三角形中的几何计算学 习 目 标核 心 素 养1.掌握三角形的面积公式的应用(重点)2掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用(难点)1.通过三角形面积公式的学习,培养学生的数学运算的素养2借助三角形中的综合问题的学习,提升学生的数学抽象的素养.1三角形的面积公式(1)Sahabhbchc(ha,hb,hc分别表示a,b,c边上的高);(2)Sabsin Cbcsin Acasin B;(3)S(abc)r(r为内切圆半径)2三角形中常用的结论(1)ABC,;(2)在三角形中大边对大角,反之亦然;(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;(4

2、)三角形的诱导公式sin(AB)sin_C,cos(AB)cos_C,tan(AB)tan_C,sin cos ,cos sin .1在ABC中,已知a2,b3,C120,则SABC()ABCD3BSABCabsin C23.2在ABC中,a6,B30,C120,则ABC的面积为_9由题知A1801203030.,b6,S66sin 1209.3若ABC的面积为,BC2,C60,则边AB的长度等于_2在ABC中,由面积公式得SBCACsin C2ACsin 60AC,AC2.BC2,C60,ABC为等边三角形AB2.三角形面积的计算【例1】在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B,c

3、os A,b.(1)求sin C的值;(2)求ABC的面积解(1)角A,B,C为ABC的内角,且B,cos A,CA,sin A.sin Csincos Asin A.(2)由(1)知sin A,sin C.又B,b,在ABC中,由正弦定理得a.ABC的面积Sabsin C.对于此类问题,一般用公式Sabsin Cbcsin Aacsin B进行求解,可分为以下两种情况:(1)若所求面积为不规则图形,可通过作辅助线或其他途径构造三角形,转化为求三角形的面积(2)若所给条件为边角关系,则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角,再利用三角形面积公式进行求解1在ABC中,已知C120,AB2,AC2,

4、求ABC的面积解由正弦定理知,即,所以sin B,由于ABAC,所以CB,故B30.从而A1801203030.所以ABC的面积SABACsin A22sin 30.三角形中的计算【例2】在ABC中,若c4,b7,BC边上的中线AD的长为,求边长A 解如图所示,因为AD是BC边上的中线,所以可设CDDBx,则CBa2x.因为c4,b7,AD,在ACD中,有cos C,在ABC中,有cos C.所以.解得x.所以a2x9.1正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点,善于应用正弦定理、余弦定理,只需通过解三角形,一般问题便能很快解决2此类问题突破的关键是仔细观察、发现图形中较隐蔽的几何条件2在A

5、BC中,已知点D在BC边上,满足0,sinBAC,AB3,BD.(1)求AD的长;(2)求cos C解(1)因为0,所以ADAC,所以sinBACsincosBAD,因为sinBAC,所以cosBAD.在ABD中,由余弦定理可知BD2AB2AD22ABADcosBAD,即AD28AD150,解得AD5或AD3.由于ABAD,所以AD3.(2)在ABD中,由正弦定理可知,又由cosBAD,可知sinBAD,所以sinADB,又DAC90,所以cos CsinCDAsinADB.三角形中的综合问题探究问题1如图所示,图中共有几个三角形?线段AD分别是哪些三角形的边,B是哪些三角形的内角?提示在图形

6、中共有三个三角形,分别为ABC,ABD,ADC;线段AD是ADC与ABD的公共边,B既是ABC的内角,又是ABD的内角2在探究1中,若sin Bsin ADB,则ABD是什么形状的三角形?在此条件下,若已知ADB=,ABm,DCn,如何求出AC?提示若sin Bsin ADB,则ABD为等腰三角形,在此条件下,可在ABD中先求出AD,然后利用余弦定理在ADC中求出AC,也可以在ABD中先求出BD,然后在ABC中,利用余弦定理求出AC3在探究1的图形中若已知B与C的大小,如何表示(或求)A,如何用B与C的正、余弦值表示A的正弦值?提示A(BC),sin Asin(BC)sin(BC)sin Bc

7、os Ccos Bsin C【例3】在ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A,bsincsinA(1)求证:BC;(2)若a,求ABC的面积思路探究(1)先由正弦定理化边为角,再化简即证(2)结合第(1)问可直接求出B,C再利用面积公式求值;也可以作辅助线得出b,c的大小关系,再由余弦定理求值,最后用面积公式求解解(1)证明:由bsincsina,应用正弦定理,得sin Bsinsin Csinsin A,所以sin Bsin Csin Bcos B,整理得sin Bcos Ccos Bsin C1,即sin(BC)1,因为0B,0C,从而BC.(2)因为BCA,所以B,C.由a,

8、A得b2sin ,c2sin ,所以ABC的面积Sbcsin Asin sin cos sin .1解三角形综合问题,除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外,一般还要用到三角函数,三角恒等变换,平面向量等知识,因此掌握正、余弦定理,三角函数的公式及性质是解题关键2三角形问题中,涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用3如图所示,在四边形ABCD中,ACCDAB1,1,sinBCD.(1)求BC边的长;(2)求四边形ABCD的面积解(1)ACCDAB1,|cosBAC2cosBAC1,cosBAC,BAC60.在ABC中,由余弦定理,有BC2AB2AC22ABACcosBAC22122

9、213,BC.(2)由(1)知,在ABC中,有AB2BC2AC2,ABC为直角三角形,且ACB90,SABCBCAC1.又BCDACBACD90ACD,sinBCD,cosACD,从而sinACD,SACDACCDsinACD11.S四边形ABCDSABCSACD.1本节课的重点是三角形面积公式及其应用,难点是综合应用正、余弦定理和面积公式解三角形2本节要重点掌握的规律方法(1)与三角形面积有关的计算(2)与三角形中线段长度有关的计算(3)与解三角形有关的综合问题1判断(正确的打“”,错误的打“”)(1)已知三角形的三边长为a,b,c,内切圆的半径为r,则三角形的面积S(abc)r.()(2)

10、在ABC中,若cb2,SABC,则A60.()(3)在ABC中,若a6,b4,C30,则SABC的面积是6.()(4)在ABC中,若sin 2Asin 2B,则AB()解析(1).因为一个三角形可以分割成三个分别以a,b,c为底,以内切圆的半径为高的三角形,所以三角形的面积为Sarbrcr(abc)r.(2).由三角形面积公式Sbcsin A得,22sin A,所以sin A,则A60或A120.(3).因为三角形的面积Sabsin C64sin 306.(4).因为在ABC中,若sin 2Asin 2B,则2A2B或2A2B,即AB或AB答案(1)(2)(3)(4)2已知ABC的面积为,且b

11、2,c,则()AA30BA60CA30或150DA60或120DSbcsin A,2sin A,sin A,A60或120.故选D3在ABC中,已知AB3,A120,且ABC的面积为,则BC边的长为_7SABC3bsin 120,b5,由余弦定理得a23252235cos 12049,a7,即BC7.4在ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,已知c2,C.(1)若ABC的面积等于,求a,b;(2)若sin B2sin A,求ABC的面积解(1)由余弦定理,得a2b2ab4.因为ABC的面积等于,所以absin C,得ab4.联立方程解得(2)由正弦定理,已知条件可化为b2a联立方程解得所以ABC的面积Sabsin C.- 11 - 版权所有高考资源网

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