1、高考资源网（） 您身边的高考专家第3课时三角形中的几何计算学 习 目 标核 心 素 养1.掌握三角形的面积公式的应用(重点)2掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用(难点)1.通过三角形面积公式的学习，培养学生的数学运算的素养2借助三角形中的综合问题的学习，提升学生的数学抽象的素养.1三角形的面积公式(1)Sahabhbchc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；(2)Sabsin Cbcsin Acasin B；(3)S(abc)r(r为内切圆半径)2三角形中常用的结论(1)ABC，；(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；(4
2、)三角形的诱导公式sin(AB)sin_C，cos(AB)cos_C，tan(AB)tan_C，sin cos ，cos sin .1在ABC中，已知a2，b3，C120，则SABC()ABCD3BSABCabsin C23.2在ABC中，a6，B30，C120，则ABC的面积为_9由题知A1801203030.，b6，S66sin 1209.3若ABC的面积为，BC2，C60，则边AB的长度等于_2在ABC中，由面积公式得SBCACsin C2ACsin 60AC，AC2.BC2，C60，ABC为等边三角形AB2.三角形面积的计算【例1】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B，c
3、os A，b.(1)求sin C的值；(2)求ABC的面积解(1)角A，B，C为ABC的内角，且B，cos A，CA，sin A.sin Csincos Asin A.(2)由(1)知sin A，sin C.又B，b，在ABC中，由正弦定理得a.ABC的面积Sabsin C.对于此类问题，一般用公式Sabsin Cbcsin Aacsin B进行求解，可分为以下两种情况：(1)若所求面积为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为求三角形的面积(2)若所给条件为边角关系，则需要运用正、余弦定理求出某两边及夹角，再利用三角形面积公式进行求解1在ABC中，已知C120，AB2，AC2，
4、求ABC的面积解由正弦定理知，即，所以sin B，由于ABAC，所以CB，故B30.从而A1801203030.所以ABC的面积SABACsin A22sin 30.三角形中的计算【例2】在ABC中，若c4，b7，BC边上的中线AD的长为，求边长A 解如图所示，因为AD是BC边上的中线，所以可设CDDBx，则CBa2x.因为c4，b7，AD，在ACD中，有cos C，在ABC中，有cos C.所以.解得x.所以a2x9.1正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决2此类问题突破的关键是仔细观察、发现图形中较隐蔽的几何条件2在A
5、BC中，已知点D在BC边上，满足0，sinBAC，AB3，BD.(1)求AD的长；(2)求cos C解(1)因为0，所以ADAC，所以sinBACsincosBAD，因为sinBAC，所以cosBAD.在ABD中，由余弦定理可知BD2AB2AD22ABADcosBAD，即AD28AD150，解得AD5或AD3.由于ABAD，所以AD3.(2)在ABD中，由正弦定理可知，又由cosBAD，可知sinBAD，所以sinADB，又DAC90，所以cos CsinCDAsinADB.三角形中的综合问题探究问题1如图所示，图中共有几个三角形？线段AD分别是哪些三角形的边，B是哪些三角形的内角？提示在图形
6、中共有三个三角形，分别为ABC，ABD，ADC；线段AD是ADC与ABD的公共边，B既是ABC的内角，又是ABD的内角2在探究1中，若sin Bsin ADB，则ABD是什么形状的三角形？在此条件下，若已知ADB=，ABm，DCn，如何求出AC?提示若sin Bsin ADB，则ABD为等腰三角形，在此条件下，可在ABD中先求出AD，然后利用余弦定理在ADC中求出AC，也可以在ABD中先求出BD，然后在ABC中，利用余弦定理求出AC3在探究1的图形中若已知B与C的大小，如何表示(或求)A，如何用B与C的正、余弦值表示A的正弦值？提示A(BC)，sin Asin(BC)sin(BC)sin Bc
7、os Ccos Bsin C【例3】在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A，bsincsinA(1)求证：BC；(2)若a，求ABC的面积思路探究(1)先由正弦定理化边为角，再化简即证(2)结合第(1)问可直接求出B，C再利用面积公式求值；也可以作辅助线得出b，c的大小关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解解(1)证明：由bsincsina，应用正弦定理，得sin Bsinsin Csinsin A，所以sin Bsin Csin Bcos B，整理得sin Bcos Ccos Bsin C1，即sin(BC)1，因为0B，0C，从而BC.(2)因为BCA，所以B，C.由a，
8、A得b2sin ，c2sin ，所以ABC的面积Sbcsin Asin sin cos sin .1解三角形综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键2三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用3如图所示，在四边形ABCD中，ACCDAB1，1，sinBCD.(1)求BC边的长；(2)求四边形ABCD的面积解(1)ACCDAB1，|cosBAC2cosBAC1，cosBAC，BAC60.在ABC中，由余弦定理，有BC2AB2AC22ABACcosBAC22122
9、213，BC.(2)由(1)知，在ABC中，有AB2BC2AC2，ABC为直角三角形，且ACB90，SABCBCAC1.又BCDACBACD90ACD，sinBCD，cosACD，从而sinACD，SACDACCDsinACD11.S四边形ABCDSABCSACD.1本节课的重点是三角形面积公式及其应用，难点是综合应用正、余弦定理和面积公式解三角形2本节要重点掌握的规律方法(1)与三角形面积有关的计算(2)与三角形中线段长度有关的计算(3)与解三角形有关的综合问题1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S(abc)r.()(2)
10、在ABC中，若cb2，SABC，则A60.()(3)在ABC中，若a6，b4，C30，则SABC的面积是6.()(4)在ABC中，若sin 2Asin 2B，则AB()解析(1).因为一个三角形可以分割成三个分别以a，b，c为底，以内切圆的半径为高的三角形，所以三角形的面积为Sarbrcr(abc)r.(2).由三角形面积公式Sbcsin A得，22sin A，所以sin A，则A60或A120.(3).因为三角形的面积Sabsin C64sin 306.(4).因为在ABC中，若sin 2Asin 2B，则2A2B或2A2B，即AB或AB答案(1)(2)(3)(4)2已知ABC的面积为，且b
11、2，c，则()AA30BA60CA30或150DA60或120DSbcsin A，2sin A，sin A，A60或120.故选D3在ABC中，已知AB3，A120，且ABC的面积为，则BC边的长为_7SABC3bsin 120，b5，由余弦定理得a23252235cos 12049，a7，即BC7.4在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，已知c2，C.(1)若ABC的面积等于，求a，b；(2)若sin B2sin A，求ABC的面积解(1)由余弦定理，得a2b2ab4.因为ABC的面积等于，所以absin C，得ab4.联立方程解得(2)由正弦定理，已知条件可化为b2a联立方程解得所以ABC的面积Sabsin C.- 11 - 版权所有高考资源网