1、基础诊断考点突破第4讲 随机事件的概率基础诊断考点突破最新考纲 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式基础诊断考点突破知 识 梳 理1频率与概率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)nAn 为事件 A 出现的频率(2)在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件 A 发生的频率会在某个附近摆动，即随机事件 A 发生的频率具有这时我们把这个常数叫作随机事件 A 的概率，记作 P(A)
2、常数稳定性基础诊断考点突破2事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件 A 发生，则事件 B一定发生，这时称事件B事件 A(或称事件A 包含于事件 B)(或 AB)相等关系若 BA 且 ABAB包含BA基础诊断考点突破和事件(并事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的(或和事件)AB(或AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当.且，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB(或AB)并事件事件A发生事件B发生基础诊断考点突破互斥事件若 AB 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥AB对立事件若 AB 为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件
3、 A与事件 B 互为对立事件AB P(AB)1基础诊断考点突破(1)概率的取值范围：.(2)必然事件的概率 P(E).(3)不可能事件的概率 P(F).(4)互斥事件概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)0P(A)110P(A)P(B)1P(B)3.概率的几个基本性质基础诊断考点突破诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)事件发生的频率与概率是相同的()(2)在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值()(3)若随机事件 A 发生的概率为 P(A)，则 0P(A)1.()(4)6 张奖券中只有一
4、张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率()答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破2袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则：恰有1个白球和全是白球；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球在上述事件中，是对立事件的为()A B C D解析 至少有1个白球和全是黑球不同时发生，且一定有一个发生中两事件是对立事件答案 B基础诊断考点突破3(2016天津卷)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.13解析 设“两人下成和棋”为事件 A，“甲获胜”为事
5、件 B.事件A 与 B 是互斥事件，所以甲不输的概率 PP(AB)P(A)P(B)121356.答案 A基础诊断考点突破4(2017威海模拟)围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2粒都是黑子的概率为17，都是白子的概率是1235，则从中任意取出2 粒恰好是同一色的概率是_解析 由题意知，所求概率 P1712351735.答案 1735基础诊断考点突破5(2017长沙模拟)有一个容量为 66 的样本，数据的分组及各组的频数如下：11.5,15.5)，2；15.5,19.5)，4；19.5,23.5)，9；23.5,27.5)，18；27.5,31.5)，11；31.5,35.5)，12；3
6、5.5，39.5)，7；39.5,43.5，3.根据样本的频率分布估计，数据落在27.5,43.5内的概率约是_解析 由条件可知，落在27.5,43.5的数据有 11127333(个)，故所求概率约为336612.答案 12基础诊断考点突破考点一 随机事件间的关系 【例 1】从 1,2,3,4,5 这五个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数上述事件中，是对立事件的是()A B C D基础诊断考点突破解析 从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，两个奇数，两个
7、偶数其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或两个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件又中的事件可以同时发生，不是对立事件答案 C基础诊断考点突破规律方法(1)本题中准确理解恰有两个奇数(偶数)，一奇一偶，至少有一个奇数(偶数)是求解的关键，必要时可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系(2)准确把握互斥事件与对立事件的概念互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生基础诊断考点突破【训练 1】口袋里装有 1 红，2 白，3 黄共 6 个形状相同的小球，从中取出 2 球，事件
8、 A“取出的 2 球同色”，B“取出的 2球中至少有 1 个黄球”，C“取出的 2 球至少有 1 个白球”，D“取出的 2 球不同色”，E“取出的 2 球中至多有 1 个白球”下列判断中正确的序号为_A 与 D 为对立事件；B 与 C 是互斥事件；C 与 E 是对立事件；P(CE)1；P(B)P(C)基础诊断考点突破解析 当取出的 2 个球中一黄一白时，B 与 C 都发生，不正确当取出的2个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，则不正确显然 A 与 D 是对立事件，正确；CE 不一定为必然事件，P(CE)1，不正确由于 P(B)45，P(C)35，所以不正确答案 基础诊断考点突破考点二 随机事
9、件的频率与概率【例 2】(2016全国卷)某险种的基本保费为 a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a基础诊断考点突破随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数012345频数605030302010(1)记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的 160%”，求 P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的
10、估计值基础诊断考点突破解(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2，由所给数据知，一年内出险次数小于 2 的频率为6050200 0.55，故 P(A)的估计值为0.55.(2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4，由所给数据知，一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为3030200 0.3，故 P(B)的估计值为 0.3.基础诊断考点突破(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调 查 的 200 名 续 保 人 的 平 均 保 费 为 0.85a0.30 a0.25 1.25a0.1
11、51.5a0.151.75a0.102a0.051.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为 1.192 5a.基础诊断考点突破规律方法(1)解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.基础诊断考点突破【训练2】(2015北京卷)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表
12、，其中“”表示购买，“”表示未购买.商品顾客人数甲 乙 丙 丁100 217 200 300 85 98 基础诊断考点突破(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解(1)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中有 200 位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为 2001 0000.2.基础诊断考点突破(2)从统计表可以看出，在这 1 000 位顾客中，有 100 位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾
13、客最多购买了 2 种商品所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为1002001 0000.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为 2001 0000.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为1002003001 0000.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为 1001 0000.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大基础诊断考点突破考点三 互斥事件与对立事件的概率【例3】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至1
14、6件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间/(分钟/人)11.522.53基础诊断考点突破已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%.(1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率(将频率视为概率)解(1)由已知得 25y1055，x3045，所以 x15，y20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1151.5302252.520310
15、1001.9(分钟)基础诊断考点突破(2)记 A 表示事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”，A1，A2，A3 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”、“该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”将频率视为概率得P(A1)15100 320，P(A2)30100 310，P(A3)2510014.因为 AA1A2A3，且 A1，A2，A3 是互斥事件，所以 P(A)P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3)320 31014 710.故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 710.基础诊断考点突破规律方法(
16、1)求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来结算时间不超过 2 分钟的事件，包括结算时间为 2 分钟的情形，否则会计算错误(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由 P(A)1P(A)求解当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法基础诊断考点突破【训练 3】某商场有奖销售活动中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖10 个，二等奖 50 个设 1 张奖券中特等奖、一等奖、
17、二等奖的事件分别为 A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1 张奖券的中奖概率；(3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率基础诊断考点突破解(1)P(A)11 000，P(B)101 000 1100，P(C)501 000 120.故事件 A，B，C 的概率分别为11 000，1100，120.(2)1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则 MABC.A，B，C 两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C)110501 000 611 000.基础诊断考点突破故 1 张奖券的中奖概率为 611 000.(3)设“1 张奖
18、券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)1P(AB)111 000 1100 9891 000.故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 9891 000.基础诊断考点突破思想方法1对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率 P(A)，因此可以用频率 fn(A)来估计概率P(A)2对立事件不仅两个事件不能同时发生，而且二者必有一个发生基础诊断考点突破3求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)1P(A)，即运用逆向思维(正难则反)基础诊断考点突破易错防范1易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数2正确认识互斥事件与对立事件的关系，对立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件3需准确理解题意，特别留心“至多”“至少”“不少于”等语句的含义.
