1、单元综合测试三时间：120分钟分值：150分 第卷(选择题，共60分)题号123456789101112答案一、选择题(每小题5分，共60分)1直三棱柱ABCA1B1C1，若a，b，c，则()Aabc BabcCabc Dabc解析：结合图形，得cababc，故选D.答案：D2已知a(5,6,1)，b(6,5,0)，则a与b()A垂直 B不垂直也不平行C平行且同向 D平行且反向答案：A3已知a(2，1,3)，b(4,2，x)，c(1，x,2)，若(ab)c，则x等于()A4 B4C. D6解析：ab(2,1,3x)，由(ab)c，(ab)c0.2x2(3x)0，得x4.答案：B4若a(1，2)
2、，b(2，1,2)，且a，b的夹角的余弦值为，则等于()A2 B2C2或 D2或解析：ab2463.解得2或.答案：C5已知空间四边形ABCD每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则a2是下列哪个选项的计算结果()A2 B2C2 D2解析：2a2，A错；2a2，B错；2a2，D错；只有C对答案：C6若A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，当|取最小值时，x的值等于()A19 BC. D.解析：(1x,2x3，3x3)，则|，故当x时，|取最小值，故选C.答案：C7已知ABCD，ABEF是边长为1的正方形，FA平面ABCD，则异面直线AC与EF所成的角为()
3、A30 B45C60 D90解析：如图1，由于EFAB且BAC45，所以异面直线AC与EF所成的角为45，故选B.答案：B图1图28如图2所示，正方体ABCDABCD中，M是AB的中点，则sin，的值为()A. B.C. D.解析：以DA，DC，DD所在的直线分别为x，y，z轴建立直角坐标系Oxyz，设正方体棱长为1，则D(0,0,0)，B(1,1,1)，C(0,1,0)，M，则(1,1,1)，cos，则sin，.答案：B图39如图3，ABACBD1，AB面M，AC面M，BDAB，BD与面M成30角，则C、D间的距离为()A1 B2C. D.解析：|2|2|2|2|222211100211co
4、s1202.|.答案：C10在以下命题中，不正确的个数为()|a|b|ab|是a、b共线的充要条件；若ab，则存在唯一的实数，使ab；对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若22，则P、A、B、C四点共面；若a，b，c为空间的一个基底，则ab，bc，ca构成空间的另一个基底；|(ab)c|a|b|c|.A2 B3C4 D5解析：错，应为充分不必要条件错，应强调b0.错，2211.错，由数量积的运算性质判别答案：C11在三棱锥PABC中，ABC为等边三角形，PA平面ABC，且PAAB，则二面角APBC的平面角的正切值为()A. B.C. D.解析：设PAAB2，建立空间直角坐标系，平面PAB
5、的一个法向量是m(1,0,0)，平面PBC的一个法向量是n(，1,1)则cosm，n.正切值tanm，n.答案：A图412(2011辽宁高考)如图4，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是()AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析：四边形ABCD是正方形，ACBD.又SD底面ABCD，SDAC.其中SDBDD，AC面SDB，从而ACSB.故A正确；易知B正确；设AC与DB交于O点，连结SO.则SA与平面SBD所成的角为ASO，SC与平面SBD所成的角为CSO，又OAOC，S
6、ASC，ASOCSO.故C正确；由排除法可知选D.答案：D第卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13已知直线l的方向向量为v(1，1，2)，平面的法向量u(2，1,1)，则l与的夹角为_解析：cosv，u，v，u60.l与的夹角为30.答案：3014如图5所示，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，以，为基底，则_.解析：()()，故.答案： 15如图6所示，在三棱锥PABC中，PAPBPCBC，且BAC90，则PA与底面ABC所成的角为_解析：由于PAPBPC，故P在底面ABC上的射影为ABC外心，由于ABC为直角三角
7、形，不妨设OBOC，所以OP面ABC，PAO为所求角，不妨设BC1，则OA，cosPAO，所以PAO60.答案：6016(2011全国高考)已知点E、F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上，且B1E2EB，CF2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于_图7解析：延长FE、CB相交于点G，连结AG，设正方体的棱长为3，则GBBC3，作BHAG于H，连结EH，则EHB为所求二面角的平面角BH，EB1，tanEHB.答案：三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分)已知向量a(1，3,2)，b(2,1,1)，点A(3，1,4)，B(2
8、，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得b？(O为原点)解：(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，若b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t，因此存在点E，使得b，此时E点坐标为E(，)图818(12分)如图8，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点D是AB的中点求证：(1)ACBC1；(2)AC1平面CDB1.图9证明：直三棱柱ABCA1B1C1底面三边长AC3，BC4，AB5，且C1C垂直底面AC、BC、C1C两两垂直如图
9、9，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(，2,0)(1)(3,0,0)，(0，4,4)，0，ACBC1.(2)设CB1与C1B的交点为E，连接DE，则E(0,2,2)，(，0,2)，(3,0,4)，.DEAC1.DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平面CDB1.19(12分)已知M为长方体AC1的棱BC的中点，点P在长方体AC1的面CC1D1D内，且PMBB1D1D，试探讨点P的确切位置图10解：以DA、DC、DD1为x、y、z轴，如图10建立空
10、间直角坐标系，设DAa，DCb，DD1c.根据题意可设A(a,0,0)，B(a，b,0)，D1(0,0，c)，P(0，y，z)，则M(a，b,0)又PMBB1D1D，根据空间向量基本定理，必存在实数对(m，n)，使得mn，即(a，by，z)(ma，mb，nc)，等价于则点P(0，nc)点P在面DCC1D1的DC的中垂线EF上20(12分)在正棱锥PABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是PAB的重心，E，F分别是BC，PB上的点，且BEECPFFB12.求证：(1)平面GEF平面PBC；(2)EGPG，EGBC.图11证明：(1)以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在的直线分别为x轴、y轴
11、、z轴，建立空间直角坐标系令PAPBPC3，则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)于是(3,0,0)，(1,0,0)故3.PAFG.又PA平面PBC，FG平面PBC.又FG平面EFG，平面EFG平面PBC.(2)(1，1，1)，(1,1,0)，(0，3,3)110，330.EGPG，EGBC.图1221(12分)(2011天津高考)如图12，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1BB1的中心，AA12，C1H平面AA1B1B，且C1H.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA
12、1C1B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN平面A1B1C1，求线段BM的长图13解：如图13所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点依题意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，2，)，A1(2，2，0)，B1(0,2，0)，C1(，)(1)易得(，)，(2，0,0)，于是cos，.所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.(2)易知(0,2，0)，(，)设平面AA1C1的法向量m(x，y，z)，则即不妨令x，可得m(，0，)，同样地，设平面A1B1C1的法向量n(x，y，z)，则即不妨令y，可得n(0，)，于是cosm，n，从而sinm，n.所以
13、二面角AA1C1B1的正弦值为.(3)由N为棱B1C1的中点，得N(，)设M(a，b,0)，则(a，b，)由MN平面A1B1C1，得即解得故M(，0)因此(，0)，所以线段BM的长|.图1422(12分)如图14，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AEEBAFFD4.沿直线EF将AEF翻折成AEF，使平面AEF平面BEF.(1)求二面角AFDC的余弦值；(2)点M，N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A重合，求线段FM的长解：法一：(1)取线段EF的中点H，连结AH.因为AEAF及H是EF的中点，所以AHEF.又因为平面AEF平面BEF，及AH
14、平面AEF，所以AH平面BEF.如图15建立空间直角坐标系Axyz，图15则A(2,2,2)，C(10,8,0)，F(4,0,0)，D(10,0,0)，故(2,2,2)，(6,0,0)设n(x，y，z)为平面AFD的一个法向量，所以取z，则n(0，2，)又平面BEF的一个法向量m(0,0,1)故cosn，m.所以二面角的余弦值为.(2)设FMx，则M(4x,0,0)，因为翻折后，C与A重合，所以CMAM，故(6x)28202(2x)222(2)2，得x，经检验，此时点N在线段BC上，所以FM.法二：(1)取线段EF的中点H，AF的中点G，连结AG，AH，GH.图16因为AEAF及H是EF的中点，所以AHEF，又因为平面AEF平面BEF，所以AH平面BEF，又AF平面BEF，故AHAF，又因为G，H是AF，EF的中点，易知GHAB，所以GHAF，于是AG面AGH，所以AGH为二面角ADFC的平面角，在RtAGH中，AH2，GH2，AG2，所以cosAGH.故二面角ADFC的余弦值为.(2)设FMx，因为翻折后，C与A重合，所以CMAM，而CM2DC2DM282(6x)2，AM2AH2MH2AH2MG2GH2(2)2(x2)222，得x，经检验，此时点N在线段BC上，所以FM.
