1、第1页 共 61 页第一模块集合与常用逻辑用语第2页 共 61 页考 纲 要 求1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.3.理解集合之间的包含与相等关系,给定集合的子集、补集、交集、并集的含义及基本运算.第3页 共 61 页4.理解命题的概念,了解命题的逆命题、否命题和逆否命题,会分析四种命题的相互关系.5.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.6.了解逻辑连结词“或”、“且”、“非”的含义,理解全称量词与存在量词的意义,能正确地写出对含有一个量词的命题的否定.第4页 共 61 页命 题 走 向纵观近几年各省、市
2、的高考试题知:本模块是必考内容之一,多以选择题、填空题出现.主要考查集合的简单运算,命题的充分条件、必要条件、充要条件.因为集合、充要条件可以与很多高中数学内容相结合,还可以出解答题.第5页 共 61 页第一讲集合的概念及简单运算第6页 共 61 页走进高考第一关 考点关回 归 教 材1.集合的概念(1)集合是数学中的一个不定义的原始概念,像平面几何中的点、线、面一样只可描述.一般地,某些指定的对象集在一起就构成一个集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素,它具有三个特性:确定性;互异性;无序性.第7页 共 61 页(2)根据集合中元素的多少,集合可分为三类:有限集、无限集和空集.(3)符号“
3、”和“”表示元素和集合之间的关系.(4)我们约定用N表示自然数集;N*或N+表示正整数集;Z表示整数集;Q表示有理数集;R表示实数集;C表示复数集.第8页 共 61 页2.集合的表示方法集合有三种表示方法:列举法、特征性质描述法、韦恩图法,它们各有优点,用什么方法表示集合,要具体问题具体分析.第9页 共 61 页3.子集、真子集(1)对于两个集合A与B,如果A中的每一个元素都是B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作AB或BA.(2)如果A是B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么,集合A叫集合B的真子集,记作AB或BA.第10页 共 61 页4.空集(1)空集是指不含任何元素的集合,
4、它是任何一个集合的子集,是任何一个非空集合的真子集.(2)集合不是空集;、三种表示法都是对的.第11页 共 61 页5.有限集的子集、真子集的个数关于有限集的子集个数有下列结论:若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个;非空子集有2n-1个;真子集有2n-1个.第12页 共 61 页6.集合的运算(1)交集对于两个集合A、B,由属于A又属于B的所有元素所构成的集合,叫做A和B的交集,记作AB.(2)并集一般地,对于两个给定的集合A、B,把它们所有的元素并在一起构成的集合,叫做A与B的并集,记作AB.第13页 共 61 页(3)全集在研究集合与集合之间的关系时,如果一个集合含有我们所研究问题中
5、涉及的所有元素,那么称这个给定的集合为全集,通常用U表示、(4)补集如果A是全集U的一个子集,由所有属于U,但不属于A的元素组成的集合,叫做A在全集U中的补集,记作UA.第14页 共 61 页7.集合中的常用运算性质(1)AB,BA,则A=B;AB,BC,则AC;(2)A,若A,则A;(3)AA=A,A=;(4)AA=A,AB=BA,A=A;(5)AUA=,AUA=U;(6)ABAAB;(7)U(AB)=(UA)(UB);U(AB)=(UA)(UB);(8)若AB,则ABAB,AB=A,AB=B.第15页 共 61 页考 点 训 练1.(2009全国卷)设集合A=4,5,7,9,B=3,4,7
6、,8,9,全集U=AB,则集合U(AB)中的元素共有()A.3个B.4个C.5个D.6个答案:A解析:依题意得U=AB=3,4,5,7,8,9,AB=4,7,9.U(AB)=3,5,8,故选A.第16页 共 61 页2.(2009四川卷)设集合S=x|x|5,T=x|x2+4x-210,则ST=()A.x|-7x-5 B.x|3x5C.x|-5x3 D.x|-7x0,B=x|x1,则AUB=()A.x|0 x1 B.x|0 x1C.x|x1答案:B解析:B=x|x1,UB=x|x1.又A=x|x0,AUB=x|0 x1.第19页 共 61 页5.(2009湖北卷)已知P=a|a=(1,0)+m
7、(0,1),mR,Q=b|b=(1,1)+n(-1,1),nR是两个向量集合,则PQ=()A.(1,1)B.(-1,1)C.(1,0)D.(0,1)答案:A解析:a=(1,m),b=(1-n,1+n),若PQ,则由a=b得1=1-n,m=1+n,解得n=0,m=1.PQ=(1,1).第20页 共 61 页解读高考第二关 热点关题型一集合的基本概念例1现有三个实数的集合,既可以表示为a,1,也可表示为a2,a+b,0,则a2009+b2009=_.答案:-1ba第21页 共 61 页解析:根据集合中元素的确定性,我们不难得到两集合的元素是相同的,这样需要列方程组分类讨论,显然复杂又繁琐.这时若能
8、发现0这个特殊元素,和中的a不为0的隐含信息,就能得到如下解法.由已知得=0,及a0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1.又根据集合中元素的互异性a=1应舍去,因而a=-1,故a2009+b2009=(-1)2009=-1.baba第22页 共 61 页点评:1.利用集合中元素的特点,列出方程组求解,但仍然要检验,看所得结果是否符合集合元素的互异性的特征.2.此类问题还可以根据两集合中元素的和相等,元素的积相等,列出方程组求解,但仍然要检验.第23页 共 61 页变式1:已知x21,0,x,求实数x的值.解:由集合中元素的确定性可知x2=1,0或x,由集合中元素的互异性可知x1,0.
9、若x2=0,则x=0,此时集合为1,0,0,不符合集合中元素的互异性,舍去.若x2=1,则x=1.当x=1时,集合为1,0,1,不符合集合中元素的互异性,舍去;当x=-1时,集合为1,0,-1,符合.若x2=x,则x=0或x=1,由上可知,x=0和x=1都不合题意,舍去.综上所述,x=-1.第24页 共 61 页点评:即要用元素的确定性、互异性和无序性解题,又要利用它们检验解的正确性,特别是互异性,最易被忽视,在学习中必须加以重视.第25页 共 61 页题型二 元素与集合的关系例2已知集合A=x|ax2-3x+2=0,若A中元素至多有一个,求a的取值范围.:,;,9.,.8 2221 a03x
10、20 x32 a0ax3x20 x998a0ax8ax3x20aa0a解时 原方程为符合题意时 方程为关于 的一元二次方程 当时 即时 关于 的方程无实数根或有两个相等的实数根都符合题意综上所述的取值范围为或第26页 共 61 页:,:,A.(),A;(),:A.12AaAA11a12A12aA1a变式设 是数集 满足性质 若则且若求若求证:(),A,1,A,1221A2,1,.2():,A,.112A11211A211112aA1a111A1a11a解由则故证明 由知得证第27页 共 61 页题型三 集合的基本运算例3设全集为实数集R,M=x|x|2,N=x|y=lg(1-x)0,则(RM)
11、N等于()A.x|x-2 B.x|-2x1C.x|x1 D.x|-2x1答案:A解析:M=x|-2x2,RM=x|x2,N=x|1-x0=x|x1.(RM)N=x|x-2.第28页 共 61 页点评:进行不等式解集的运算,当遇有较复杂的集合运算时,可利用数轴来表示各不等式的解集,以便于能直观地分析出各集合之间的关系.第29页 共 61 页:()|,|,1.|2x32B.x|2x31C.x|x221D.x|1x2 32009Ax 2x13B2x1x0AB3xA x1x变式安徽卷 若集合则是()或答案:D第30页 共 61 页:,1x2.1,x3.21|.2 2x132x10 x3xABx1x解析
12、 由得由得或第31页 共 61 页题型四 含参数的集合问题例4已知A=x|-2x4,B=x|xa.(1)若AB=,求实数a的取值范围;(2)若ABA,求实数a的取值范围;(3)若AB,且ABA,求实数a的取值范围.第32页 共 61 页解:将A=x|-2x4在数轴上表示如图.(1)AB=,又B=x|xa,a-2.(2)ABA,a4.(3)AB且ABA,-2a4.综上可知,(1)a-2时,AB=;(2)a4,ABA;(3)-21,a2,a2.(2)AB=A,BA.若B=,则2-4a0,即(a-1)21时,B=x|1xa,a2,即1a2.()a1时,B=x|ax1,a=1.综上知,1a2.第36页
13、 共 61 页笑对高考第三关 技巧关1.利用补集思想方法解题对于某些问题,如果从正面求解较困难,可考虑求解问题的反面,采用“正难则反”的解题策略,具体地说,就是将研究对象的全体视为全集,求出使问题反面成立的集合A,则A的补集即为所求.第37页 共 61 页例1已知集合A=x|x2+x+a0,B=x|x2-x+2a-10,C=x|ax4a-9,且A、B、C中至少有一个不是空集,求a的取值范围.第38页 共 61 页:,.,(),.ABCABCa14a0514 2a10a38a4a95aaa38解 已知集合、至少有一个不是空集 故其反面为三个集合都是空集若、全为空集 则实数 应满足解得从而所求 的
14、取值范围是或第39页 共 61 页2.利用韦恩图解题对于全集U及其子集,可用矩形和圆圈分别来表示,并借助图形解决相关问题,这种方法称为韦恩图法.利用韦恩图法可计算集合中的元素个数,有如下公式:card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB),其中card(A)表示集合A中的元素个数.第40页 共 61 页例2已知全集U=不大于20的质数,M、N是U的两个子集,且满足M(UN)=3,5,(UM)N=7,19,(UM)(UN)=2,17,求M、N.第41页 共 61 页解:如下图所示,由(UM)(UN)=2,17可知M,N中没有元素2、17.由(UM)N=7,19可知N中有元素7
15、、19,M中没有元素7、19.由M(UN)=3,5可知M中有元素3、5,N没有元素3、5.第42页 共 61 页剩下的元素11、13不在(UM)N、M(UN),(UM)(UN)三部分,只有11MN,13MN.所以M=3,5,11,13,N=7,11,13,19.点评:有的集合问题比较抽象,解题时若借助Venn图或数轴进行数形分析,使问题直观化,可准确获解.第43页 共 61 页考 向 精 测1.集合A1,2,3,4,且A的元素中至少有一个是奇数,则这样的集合有()A.16个B.15个C.12个D.11个答案:D解析:满足A1,2,3,4的A有24-1=15个.而所求集合的反面为集合中无奇数,即
16、有,2,4,2,4共4个.故所求集合有15-4=11个.第44页 共 61 页2.如图,U为全集,M、P、S是U的三个子集,则阴影部分所表示的集合是()A.(MP)SB.(MP)SC.(MP)(US)D.(MP)(US)答案:C解析:由韦恩图结合集合的运算知,A、B、D选项错误,C正确.第45页 共 61 页课时作业(一)集合的概念及简单运算第46页 共 61 页一、选择题1.(2010合肥质检)集合M=x|x2-1=0,集合N=x|x2-3x+2=0,全集为U,则图中阴影部分表示的集合是()A.-1,1 B.-1 C.1 D.答案:B第47页 共 61 页2.以下5个式子中,错误的个数为()
17、10,1,2 1,-3=-3,1 0,1,21,0,2 0,1,2 0A.5个B.4个C.3个D.2个答案:C解析:错误式子为,故选C.第48页 共 61 页3.若集合A=1,3,x,B=x2,1,且BA,则满足条件的实数x的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4答案:C:,x,3;,().30.2222BAx3xx3xxxx0 x1x解析 由知或当时当时或舍去因此或第49页 共 61 页4.(2008江西高考)定义集合运算:A*B=z|z=xy,xA,yB,设A=1,2,B=0,2,则集合A*B的所有元素之和为()A.0B.2C.3D.6答案:D解析:解此题应首先需要正确写出A*B=0,2
18、,4.0+2+4=6.第50页 共 61 页5.(2009山东高考)集合A=0,2,a,B=1,a2.若AB=0,1,2,4,16,则a的值为()A.0B.1C.2D.4答案:D第51页 共 61 页.|,_.n26x xnN n5n1二、填空题集合用列举法表示为11 2 1:2,0,24 5 2答案:,.n2n0 1 2 3 4 5n1解析 将分别代入即得第52页 共 61 页7.已知集合A=x|x5,B=x|xa,若BA,则实数a的取值范围是_.答案:a5解析:借助于数轴易知,a5.第53页 共 61 页8.(2009江苏高考)已知集合A=x|log2x2,B=(-,a),若AB,则实数a
19、的取值范围是(c,+),其中c=_.答案:4解析:A=x|log2x2=x|04,即实数a的取值范围是(4,+),c=4.第54页 共 61 页9.已知集合A=0,1,B=x|xA,xN*,C=x|xA,则A,B,C之间的关系是_.答案:BA,AC,BC解析:用列举法表示出B=1,C=,0,1,0,1.这里A、B、C是不同层次的集合,C是以A的子集为元素,同一层次的集合可用包含关系,不同层次的集合之间只能用属于关系,所以BA,AC,BC.第55页 共 61 页三、解答题10.已知集合A=m,m+d,m+2d,B=m,mq,mq2,其中m0,且A=B,求q的值.:,m2dmq.1()q1,()q
20、.2,.1q.2 222ABmdmqmdmq12m2dmq12q1q1mmqmq解 由可知或解得解得或又当时不合题意 舍去第56页 共 61 页 .(),()B.()A;(),.x311 2004f x2x1A g xlg a112BAa上海高考 记函数的定义域为的定义域为求若求实数 的取值范围:(),0,1.(,)2.21,(,).2 x3x1120 x1x1x1x1A1aBAa21解由得或即或故当时 实数 的取值范围是第57页 共 61 页12.定义运算x*y=(x-2)(y+2),集合A=a|(a-1)*(a+1)0,B=y|y=|x+2|,xA.求AB和AB.解:(a-1)*(a+1)
21、=(a-3)(a+3)0,-3a3.则A=a|-3a3,又xA,-3x3,则-1x+25,0|x+2|5,即B=y|0y5.AB=x|0 x3,AB=x|-3x5.第58页 共 61 页13.已知集合A=-1,1,B=x|x2-2ax+b=0,若B且AB=A,求a,b的值.解:AB=A,B,BA且B,故B存在两种情况:(1)当B含有两个元素时,B=A=-1,1,此时a=0,b=-1;第59页 共 61 页(2)当B含有一个元素时,=4a2-4b=0,b=a2.若B=-1时,有a2+2a+1=0,a=-1,b=1;若B=1时,有a2-2a+1=0,a=1,b=1.,a1,:,b1.a0a1b1b1综上可知或或第60页 共 61 页.()|,|.()B;(),.2214 2010Ax x44Bx 1x31A22xaxb0Ba b广东模拟 设集合求集合若不等式的解集为求的值第61页 共 61 页:|4x|2x2,4x1Bx|1x|0 x3x3x|3x1.Bx|2x1.()Bx|3x1.,a3 1,2,.,222Ax x1 A22xaxb0312xaxb0a4 b6b3 12解的解集为和 是方程的两根
