1、第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 第2课时 基本不等式的应用 学 习 目 标核 心 素 养 1.熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题(重点)2会用基本不等式求解实际应用题(难点)1.通过基本不等式求最值，提升数学运算素养2借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.情 景 导 学 探 新 知(1)某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？(2)某农场主想用篱笆围成一个10 000平方米的矩形农场，怎样设计才能使所用篱笆最省呢？问题：实例中两个问题的实质是什么？如何求解？提示：这两个都是求最值问题第一个问题是矩形周长一定，即长x与宽
2、y的和一定，求xy的最大值，xyxy22252625，即鸡舍为正方形，长与宽各为25米时鸡舍面积最大第二个问题是矩形面积一定，求矩形长x与宽y之和最小问题，xy2xy 210 000200，当且仅当xy100时，即当农场为正方形，边长为100米时，所用篱笆最省已知 x，y 都是正数，(1)若 xyS(和为定值)，则当 xy 时，积 xy 取得最值S24.(2)若 xyp(积为定值)，则当 xy 时，和 xy 取得最值 2 p.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大小大1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值()(2)若a0，b
3、0且ab4，则ab4.()(3)当x1时，函数yx1x1 2xx1，所以函数y的最小值是2xx1.()提示(1)由ab2 ab可知正确(2)由abab224可知正确(3)xx1不是常数，故错误 答案(1)(2)(3)2已知a0，b0，ab2，则y1a4b的最小值是()A.72 B4 C.92 D5C ab2，ab2 1.1a4b1a4b ab2 522ab b2a 5222ab b2a92 当且仅当2ab b2a，即b2a时，等号成立.故y1a4b的最小值为92.3若x0，则x2x的最小值是_2 2 x2x2x2x2 2，当且仅当x 2时，等号成立4.x10 x的最大值为_5 x10 xx10
4、 x25.合 作 探 究 释 疑 难 利用基本不等式求最值【例1】(1)已知x1，求yx 1x1的最小值；(2)已知0 x12，求y12x(12x)的最大值思路点拨(1)看到求yx1x1 的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y12x(12x)的最值，需要出现和为定值 解(1)x1，x10，yx 1x1(x1)1x11 2x11x11 213.当且仅当x1 1x1，即(x1)21，x2(x0舍去)时“”成立 故当x2时，yx 1x1的最小值为3.(2)0 x0，y142x(12x)142x12x221414 116.当且仅当2x12x0 x0，求 yx25x4x的最小值；(2)已知 0
5、x0)的最小值为 9.(2)法一：0 x0.yx(13x)133x(13x)133x13x22 112.当且仅当 3x13x，即 x16时，等号成立 当 x16时，y 取得最大值 112.法二：0 x0.yx(13x)3x13x 3x13x22 112，当且仅当 x13x，即 x16时，等号成立 当 x16时，y 取得最大值 112.利用基本不等式求条件最值【例 2】已知 x0，y0，且满足8x1y1.求 x2y 的最小值解 x0，y0，8x1y1，x2y8x1y(x2y)10 xy16yx 102xy16yx 18，当且仅当8x1y1，xy16yx，即x12，y3时，等号成立，故当 x12，
6、y3 时，x2y 的最小值为 18.若把“8x1y1”改为“x2y1”，其他条件不变，求8x1y的最小值解 x，yR，8x1y(x2y)8x1y 816yx xy21016yx xy102 1618.当且仅当16yx xy时取等号，结合 x2y1，得 x23，y16，当 x23，y16时，8x1y取到最小值 18.1本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形 2常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项常见形式有 f(x)axbx型和 f(x)ax(bax)型跟进训练2已知 a0，b0，a2b1
7、，求1a1b的最小值解 法一：1a1b1a1b 1 1a1b(a2b)12ba ab232ba ab322ba ab 32 2，当且仅当2ba ab，a2b1，即a 21，b1 22时等号成立 1a1b的最小值为 32 2.法二：1a1ba2baa2bb12ba ab2 32ba ab32 2，当且仅当2ba ab，a2b1，即a 21，b1 22时，等号成立，1a1b的最小值为 32 2.利用基本不等式解决实际问题【例 3】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成现有 36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大
8、？解 设每间虎笼长 x m，宽 y m，则由条件知，4x6y36，即 2x3y18.设每间虎笼面积为 S，则 Sxy.法一：由于 2x3y2 2x3y2 6xy，所以 2 6xy18，得 xy272，即 Smax272，当且仅当 2x3y 时，等号成立 由2x3y18，2x3y，解得x4.5，y3.故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大 法二：由 2x3y18，得 x932y.x0，0y6，Sxyy932y 32y(6y)0y0.S326yy22272.当且仅当 6yy，即 y3 时，等号成立，此时 x4.5.故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使每间虎
9、笼面积最大在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案跟进训练3某单位用 2 160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10 层，每层 2 000 平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为 56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用购地总费用建筑总面积)解 设
10、将楼房建为 x 层，则每平方米的平均购地费用为2 1601042 000 x10 800 x.每平方米的平均综合费用 y56048x10 800 x56048x225x.当 x225x 取最小值时，y 有最小值 x0，x225x 2x225x 30.当且仅当 x225x，即 x15 时，上式等号成立 当 x15 时，y 有最小值 2 000 元 因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最少.课 堂 小 结 提 素 养 1掌握 1 种方法利用基本不等式求最值的方法(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到这三
11、个条件缺一不可(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件2规避 1 个易错在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 yxpx(p0)的图象求得函数的最值1若实数a，b满足ab2，则ab的最大值为()A1 B2 2 C2 D4A 由基本不等式得，abab221.2已知 0 x1，则 x(33x)取最大值时 x 的值为()A.12B.34C.23D25A 0 x0，则 x(33x)3x(1x)3x
12、1x2234，当且仅当 x1x，即 x12时取等号3已知 4xax(x0，a0)在 x3 时取得最小值，则 a_.36 4xax24xax4 a.当且仅当 4xax，即 4x2a 时等号成立 由题意得 a43236.4某工厂第一年的产量为 A，第二年的增长率为 a，第三年的增长率为 b，则这两年的平均增长率 x 与增长率的平均值的大小关系为_xab2 由题意得(1x)2(1a)(1b)，所以 1x 1a1b1a1b21ab2，所以 xab2，当且仅当 ab 时等号成立5已知 x0，求 y 2xx21的最大值解 y 2xx21 2x1x.x0，x1x2x1x2，y221，当且仅当 x1x，即 x1 时等号成立y 的最大值为 1.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
