1、重庆市高三联合诊断性考试(第二次)数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。第卷(选择题,共60分)参考公式:正棱台、圆台的侧面积公式其中c、c分别表示上、下底面周长,l表示斜高或母线长台体的体积公式其中S、S分别表示上、下底面积,h表示高一、选择题:(每小题5分,共60分)(1)函数的最小正周期为( )(A) (B)(C) (D)(2)如图,I是全集,M、N、S是I的子集,则图中的阴影部分所示的集合是( )(A) (B)(C) (D)(3)函数的大致图象是( )(4)实数x,y满足,则最小值为( )(A)18 (B)12(C) (D)(5)若关于x的
2、方程(a0,且)有解,则m的取值范围是( )(A) (B)(C) (D)(6)某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑,其中甲商品因供不应求,连续两次提价10%,而乙商品由于外观过时而滞销,只得连续两次降价10%。最后甲、乙两种电脑均以9801元售出。若商场同时售出甲、乙电脑各一台与价格不升不降比较,商场盈利情况是( )(A)前后相同(B)少赚598元(C)多赚980.1元(D)多赚490.05元(7)(理科做)在极坐标方程中,曲线C的方程是,过点作曲线C的切线,则切线长为( )(A)4 (B)(C) (D)(文科做)函数的最大值为( )(A)10 (B)9(C)8 (D)7(8)右图是一个正
3、方体的表面展开图,A、B、C均为棱的中点,D是顶点,则在正方体中,异面直线AB和CD的夹角的余弦值为( )(A) (B)(C) (D)(9)数列是公差不为零的等差数列,并且是等比数列的相邻三项。若,则=( )(A) (B)(C) (D)(10)过双曲线的右焦点F作一条长为的弦AB,将双曲线绕其右准线旋转240,则由弦AB生成的曲面面积为( )(A) (B)30(C)20 (D)10(11)设的展开式的各项系数之和为M,而二项式系数之和为N,且M-N=992。则展开中项的系数为( )(A)250 (B)-250(C)150 (D)-150(12)某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F为左焦点的椭圆
4、,测得近地点A距离地面m千米,远地点B距离地面n千米,地球的半径为k千米。关于椭圆有以下四种说法:焦距长为n-m;短轴长为;离心率为;以AB方向为x轴的正方向,F为坐标原点,则左准线方程为。以上正确的说法有( )(A) (B)(C) (D)第卷(非选择题,共90分)二、填空题:(每小题4分,共16分)(13)某区对口支援西部贫困山区教育,需从本区三所重点中学抽调5名教师,每所学校至少抽调1人到山区5所学校支援,每校一人,则有_种支教方案。(14)数列中,则数列的通项为=_。(15)过底面边长1的三棱锥的一条侧棱和高作截面,如果这个截面的面积为,那么这个三棱锥的侧面与底面所成的正切值为_。(16
5、)一系列椭圆以定直线l为准线,所有椭圆的中心都在定点M,点M到l的距离为2,若这一系列椭圆的离心率组成以为首项,公比为的等比数列,而椭圆相应的长轴长为,则为_。三、解答题:(17)(12分)已知关于x的方程:()有实数根b。(1)求实数a,b的值;(2)若复数z满足,求z为何值时,|z|有最小值,并求出|z|的值。(18)(12分)三棱柱的底面是边长为4的正三角形,侧面是菱形,点P是的中点,。()求证:PA平面ABC;()求直线与直线所成的正弦值;()求四棱锥P-的体积。(19)(12分)函数f(x)对任意的m,n都有,并且当x0时,f(x)1。()求证:f(x)在R上增函数;()若f(3)=
6、4,解不等式。(20)(12分)(文科做)已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表,若用甲、乙、丙三种食物各x千克,y千克,z千克配成100千克混合食物,并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B。甲乙丙维生素A(单位/千克)600700400维生素B(单位/千克)800400500成本(元/千克)1194()用x,y表示混合食物成本c元;()确定x,y,z的值,使成本最低。(理科做)一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比,与它的厚度d的平方成正比,与它的长度l平方成反比。()将此枕木翻转90(即宽度变了厚度),枕木的安全负荷变大吗?为什么
7、?()现在一根横断面为半圆(半圆的半径为R)的木材,用它来截取成长方形的枕木,其长度即为枕木规定的长度,问如何截取,可使安全负荷最大?(21)(12分)等比数列首项为,公比为。()设f(n)表示该数列的前n项的积,求f(n)的表达式。()(理科做)当n取何值时,f(n)有最大值。(文科做)当n取何值时,|f(n)|有最大值。(22)(14分)双曲线G的中心在的原点O,并以抛物线的顶点为右焦点,以此抛物线的准线为右准线。()求双曲线G的方程;()设直线与双曲线G相交于A、B两点?当k为何值时,原点O在以AB为直径的圆上?(理科做,文科不做)是否存在这样的实数k,使A、B两点关于直线(m为常数)对
8、称?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由。答案一、选择题(每小题5分,共60分)CABAD BC(D文)CDA BC二、填空题:(每小题4分,共16分)13720 14 152; 16三、解答题:(共74分)17(12分)解(1)b是方程的实根,(b26b+9)+(ab)i=02分故4分 解得a=b=36分(2)设 由,得8分即 z点的轨迹是以O1(1,1)为圆心,为半径的圆.10分如图,当z点在OO1的连线上时,|z|有最大值或最小值,当z=1i,时11分最小值,12分18(12分)证明:(1)四边形AA1C1C是菱形,C1CA=60,AC1A1是正三角形,又P是A1C1的中点,PAA1C
9、1,2分 PAAC. 又PABC,ACBC=C PA平面ABC.4分(2)由(1),PA平面ABC,PA平面 A1B1C1,由AC1A1是正三角形,PB1A1C1,6分B1P平面AA1C1C,B1PCC1. CC1与B1P所成的角的正弦值为1.8分(3)10分 12分19(12分)(1)证明:设,且,则2分而4分 是增函数.6分(2)解:8分 不等式即,是增函数,10分 解得3a212分20(12分)解:(文科)解:(1)依题意, 2分(2)由 得,4分6分 8分当且仅当时等号成立.10分 当x=50千克,y=20千克,z=30千克时,混合物成本最低为850元.12分(理科)解(1)安全负荷为
10、正常数) 翻转2分,安全负荷变大.4分当 ,安全负荷变小.6分(2)如图,设截取的宽为a,高为d,则.枕木长度不变,u=ad2最大时,安全负荷最大.8分.10分,当且仅当,即取,取时,u最大, 即安全负荷最大.12分21(12分)解:(1)等比数列的通项为2分前n项的积为5分(2)(文科)令,6分8分,10分,b11是最大值.故当n=11时,12分(理科)6分 当1,7分 当10时,1,8分10分 故,只需比较f(9)与f(12)的大小就可以确定f(n)的最大值. 11分故,n=12时,f(n)有最大值.12分22(14分)解:(1)抛物线的项点为(文2,理1分)准线为(文4,理2分)设双曲线G为则有,可得,a2=3,b2=9.双曲线G的方程为.(文6,理4分)(2)由,得(文7分)又由.(文8,理5分)设(文9分)若原点O在AB为直径的圆上,有OAOB,KOAKOB=1,即(文10,理6分) 化简为(文12,理7分)解得,.故,当k=1时,原点O在AB为直径的圆上.(文14,理8分)设这样的实数k存在,则有由得,(12分)即,推得km=3,(13分)这与km=1矛盾,所以适合条件的k不存在.(14分)