1、成才之路 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教B版 必修4第二章 章末归纳总结平面向量 第二章 第二章 章末归纳总结章末归纳总结第二章 第二章 章末归纳总结专 题 研 究 3知 识 结 构 1学 后 反 思 2第二章 章末归纳总结知 识 结 构第二章 章末归纳总结第二章 章末归纳总结学 后 反 思第二章 章末归纳总结1数学中研究的向量只有大小和方向，与物理中研究的向量不完全一样如力向量除与大小和方向有关外，还与作用点有关向量可以分别用有向线段、字母、坐标表示.2对于向量的线性运算，要掌握向量加法和向量数乘的几何意义，利用向量的加法证明几何中的线段平行、相等等问题，利用向量数乘可以解决线段平行
2、、相等等问题第二章 章末归纳总结3平面向量基本定理是向量坐标表示的理论基础直角坐标系中与x、y轴方向相同的单位向量是它的一组正交基底，平面上任何一个向量都可以由一对有序实数对(x、y)表示向量的坐标表示使向量的运算代数化，也为我们提供了解决问题的方法向量坐标法同时，也体现了向量与解析几何的联系，用向量方法可以解决解析几何问题通过向量的学习，体会向量在解析几何中的应用第二章 章末归纳总结4向量的数量积不同于向量的线性运算，因为它的运算结果是数量，而不是向量向量的数量积与距离、夹角有密切联系，用它可以解决一些涉及距离、夹角的几何度量问题，特别是有关垂直的问题向量的数量积与两向量的夹角有关，体现了它
3、与三角函数的联系5运算律是运算的灵魂要注意将向量的运算律与数量的运算律类比当a、b、c两两不平行时，(ab)ca(bc)当abbc时，不一定有ac.但当ac时，一定有abbc.第二章 章末归纳总结6学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比而一维情形下向量的共线条件与二维的平面向量基本定理又可进行纵向类比第二章 章末归纳总结专 题 研 究第二章 章末归纳总结平面向量的基本运算命题方向 平面向量的加、减运算已知任意四边形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，F为 BC 的中点，求证：2EFA BD C.解析 解法一：如图，在四边形 CDEF中，E FF
4、 CCDD E0，E FF CC DD EC FD CED.第二章 章末归纳总结在四边形 ABFE 中，E FF BB AA E0，E FB FA BE A.，得2EFC FD CE DB FA BE A(C FB F)(EDE A)(A BD C)E、F 分别是 AD、BC 的中点，EDE A0，C FB F0.2EFA BD C.第二章 章末归纳总结解法二：如图，在平面内取点O，连接AO、EO、DO、CO、FO、BO，则第二章 章末归纳总结E FEOO FE AAOO BB F，E、F 分别是 AD、BC 的中点，D EE A，B FF C.2EFE AAOO BB FE AAOO BB
5、FD EAOO BF CE AAOO BB F(AOO B)(D AAOO BB C)A B(DOO C)A BD C.第二章 章末归纳总结命题方向 向量的线性运算如图所示，在ABC 中，点 D 和 E 分别在边 BC和 AC 上，且 BD13BC，CE13CA，AD 与 BE 交于点 R，求证：RD17AD，RE47BE.第二章 章末归纳总结解析 选择向量CA、CB作为基底A、R、D 三点共线，存在实数，使得RD AD，则AR(1)AD，CRCAARCA(1)ADCA(1)(CD CA)CA(1)CDCA23(1)CB第二章 章末归纳总结另一方面，B、R、E 共线，存在实数，使REBE，则B
6、R(1)BE，CR CB BR CB(1)BE CB(1)(CE CB)CB(1)CE13(1)CACB 第二章 章末归纳总结由得131231，解得1747.RD 17AD，RE47BE，从而 RD17AD，RE47BE.第二章 章末归纳总结命题方向 求向量的模设 0|a|2，f(x)cos2x|a|sinx|b|的最大值为0，最小值为4，且 a 与 b 的夹角为 45，求|ab|.分析 要求|ab|需知道|a|，|b|，故可利用函数的最值先确定|a|、|b|的值平面向量的数量积及应用第二章 章末归纳总结解析 f(x)1sin2x|a|sinx|b|(sinx|a|2)2|a|24|b|1.0
7、|a|2，当 sinx|a|2 时，f(x)取得最大值，即|a|24|b|10.第二章 章末归纳总结当 sinx1 时，f(x)取得最小值，即|a|b|4.由，得|a|2|b|2.|ab|2(ab)2a22abb222222cos452284 2，|ab|2 2 2.第二章 章末归纳总结命题方向 求向量的夹角已知 a、b 都是非零向量，若3ab 与 5a7b垂直，16a11b 与 2a7b 垂直，试求 a 与 b 的夹角.解析 3ab与5a7b垂直，(3ab)(5a7b)0.15a216ab7b20，第二章 章末归纳总结同理由 16a11b 与 2a7b 垂直，得32a290ab77b20，由
8、 11，得133a2266ab0，ab12a2，将代入，得 a2b2，|a|b|.cos ab|a|b|ab|a|2aba2 12.又0，180，120.第二章 章末归纳总结数学思想方法命题方向 数形结合思想已知 a、b 是两个非零向量，且|a|b|ab|，求 a 与 ab 的夹角解析 如图，作 O Aa，O Bb，以 OA、OB 为邻边作OACB，则 O Cab，B Aab.由|a|b|ab|，第二章 章末归纳总结知 OAOBOCACBC，故四边形 OACB 为菱形，OBC 为等边三角形BA 平分OBC，且OBC60，CBA30.又a 与 ab 的夹角为 B C与 B A的夹角CBA，a 与
9、 ab 的夹角为 30.第二章 章末归纳总结命题方向 转化与化归思想已知点 O、N 在ABC 所在平面内，且|O A|O B|O C|，N AN BN C0，则点 O、N、P 依次是ABC的()A重心、外心 B外心、内心C外心、重心D重心、垂心(注：三角形的三条高线交于一点，此点称为三角形的垂心)第二章 章末归纳总结解析|O A|O B|O C|，即点 O 到 A、B、C 三点的距离相等，点 O 为ABC 的外心如图，设 D 为 BC 边的中点，则 N BN C2ND.第二章 章末归纳总结N AN BN C0，N A2ND0，N A2D N，又 N A与 D N有公共点 N，A、D、N 三点共线，点 N 在 BC 边的中线上答案 C
