1、东莞市第四高级中学2020-2021学年高三第二学期数学第2次周测班级 姓名 学号 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分。1已知集合，则( )AB CD2在复平面内，复数对应的点位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年.复旦大学团委发起了“跟着驻村第一书记去扶贫”的实践活动，其中学生小明与另外名学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙个贫困村参与扶贫工作，若每个村至少分配名学生，则小明恰好分配到甲村的方法数是（ ）ABCD4 已知，则的大小
2、关系是( )A B C D5. 为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）根据统计图分析，下列结论错误的是( )A当时有害垃圾错误分类的重量加速增长B当时有害垃圾错误分类的重量匀速增长C当时有害垃圾错误分类的重量相对于当时增长了30%D当时有害垃圾错误分类的重量相对于当时减少了1.8吨6若正数x，y满足，则的最大值为（ ）ABCD17已知椭圆的左、右焦点分别为
3、点，过原点作直线交于，两点，若，则的方程为( )ABCD8. 若关于x的不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数a的取值范围是( ) ABCD二、多项选择题：本题共4小题 ，每小题满分 5 分，共 20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，部分选对得 2分，有选错的得 0 分9 已知的展开式中各项的系数之和为-512，则该展开式中二项式系数最大的项可以是( )A第4项B第5项C第6项D第7项10已知为等差数列的前n项和，且，记数列的前n项和为Tn，则( )ABCD11如图是函数的部分图象，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列命题正确的是( )
4、A是奇函数B函数的图象的对称轴是直线C函数的图象的对称中心是D函数的单调递减区间为12如图，点是正方体中的侧面上的一个动点， 则下列结论正确的是（ ）A点存在无数个位置满足B若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值为C在线段上存在点，使异面直线与所成的角是D点存在无数个位置满足到直线和直线的距离相等三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知向量与的夹角为30，且，则等于 14已知，则 ， （本题第一空2分，第二空3分）15为积极应对新冠肺炎疫情，提高大家对新冠肺炎的认识，某企业举办了“抗击疫情，共克时艰”预防新冠肺炎知识竞赛，知识竞赛规则如下：在预设的6个问题中，选手若能连续正确回
5、答出3个问题，即停止答题，晋级下一轮假定某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手至少回答了5个问题晋级下一轮的概率等于 16.已知双曲线，过其右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交轴于点，交另一条渐近线于点，并且点位于点，之间已知为原点，且，则双曲线的离心率为_四、解答题：本题共6小题，共70 分 。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17( 本小题满分10分）在且且，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答所给问题已知等比数列的前n项和为Sn，且 ，则是否存在正整数n，使成立？若存在，求出n的最小值？若不存在，试说明理由注：如果选择多个条件分别解答，按第一
6、个解答计分18(本小题满分12分）已知中，D是边BC上一点，.(1)求AC的长：(2)求的面积19(本小题满分12 分）如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，（1）求证：平面；（2）在线段上求一点，使锐二面角的余弦值为20(本小题满分12 分）某地区为贯彻总书记关于“绿水青山就是金山银山”的精神，鼓励农户利用荒坡种植果树某农户考察三种不同的果树苗、，经引种试验后发现，引种树苗的自然成活率为，引种树苗、的自然成活率均为（1）任取树苗、各一棵，估计自然成活的棵树为X，求X的分布列及；（2）将（1）中的取得最大值时的值作为种树苗自然成活的概率该农户决定引种棵种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有的树
7、苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为，其余的树苗不能成活求一棵种树苗最终成活的概率；若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种种树苗多少棵？21（本小题满分12分）椭圆的离心率为，长轴端点和短轴端点的距离为（1）求椭圆的标准方程；（2）点是圆上异于点和的任一点，直线与椭圆交于点、，直线与椭圆交于点、设O为坐标原点，直线、的斜率分别为、问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由22（本小题满分12分）已知函数，.（1）试判断的单调性；（2）若在区间上有极值，求实数的取值范围；（3）当时，若有唯一的零点，
8、试求的值（注：为取整函数，表示不超过的最大整数，如，；以下数据供参考：，）2020-2021学年高三第二学期数学第2次周测参考答案一、 单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分题号12345678答案BDBDC AD C1B【详解】因为，所以2D【详解】，对应点为，在第四象限3. B 【详解】若甲村只分配到名学生，则该学生必为小明，此时分配方法数为种；若甲村分配到名学生，则甲村除了分配到小明外，还应从其余名学生中挑选名学生分配到该村，此时分配方法数为种.综上所述，不同的分配方法种数为种.4.D【解析】故选D5. C【详解】本题考查统计图的应用，由统计图可知，第2周增长数量比第1周增长
9、数量明显要多，所是加速增长，所以选项A正确；当时图象是线段，所以是匀速增长，所以选项B正确；当时增长数量比当时增长数量要少，所以是减少，所以选项C错误；当时共增长2.4吨，当时共增长0.6吨，所以减少了1.8吨，所以选项D正确6. A 【解析】x，y均为正数，当且仅当，即时等号成立，所求最大值为8. C【解析】令则令，得或，得在和上单调递增，在上单调递减，且如图所示，当时，至多有一个整数解当时，在区间内的解集中有且仅有三个整数，只需，即，解得二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。9B
10、C【解析】令，得，解得，即 所以该展开式中二项式系数最大的项是第5项或第6项故选BC10BD【解析】设数列的公差为d，则由题意得解得A错误，B正确； C错误；数列的前10项和为， D正确，故选B D 11.AD【详解】由图可知：，即，解得，又当时，解得，所以，将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，则函数是奇函数，对称轴是直线，对称中心是，单调递减区间为.12.ABD【解析】A连接，由正方体的性质可得，则面，当点上时，有，故点M存在无数个位置满足，故A正确；B.由己知，当点M与点重合时，点M到面的距离最大，则三棱锥的体积最大值为，故B正确；C连接，因为，则为异面直线与所成的角设正方体棱长为1，
11、则，点到线的距离为，解得，所以在线段上不存在点M，使异面直线与所成的角是30，故C错误；D连接，过M作，交AD于N，由面，面，得，则为点M到直线的距离，为点到直线AD的距离，由己知，则点M在以为焦点，以AD为准线的抛物线上，故这样的点M有无数个，故D正确三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.【解析】，即14. 3，【解析】因为，所以，解得，所以（第一空2分，第二空3分）15. 【解析】根据题意，若该选手恰好回答了5个问题就晋级下一轮，则必有第2个问题回答错误，第3、4、5个问题回答正确，第一个问题可对可错，故所求概率为；若该选手回答了6个问题就晋级下一轮，则第4、5、6个问题回
12、答正确，第三个问题回答错误，第1、2 个问题可对可错，故所求概率为。故该选手至少回答了5个问题晋级下一轮的概率为16. 【解析】不妨设直线的方程为,令轴上方 由 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18解：(1)，2分则中， ；4分6分(2)中，7分由余弦定理得：， 9分解得，10分所以的面积为12分19、【详解】(1)依题意，X的所有可能值为0，1，2，3， 1分则；，即，；X的分布列为：X 0 1 2 3P所以.5分(2)当时，取得最大值 6分一棵B树苗最终成活的概率为 7分记Y为n棵树苗的成活棵数，为n棵树苗的利润，则，10分，要使，则有所以该农户
13、至少种植700棵树苗，就可获利不低于20万元 12分20、解：(1)因为四边形为矩形，所以.因为平面，平面，所以平面 1分同理平面 2分又因为，所以平面平面3分因为平面，所以平面4分(2)法一：因为，所以是二面角的平面角，即.5分因为，所以平面，因为平面，所以平面平面作于点，则平面6分由，得，以O为原点，平行于DC的直线为x轴，DE所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，7分设，则，设平面的法向量为，则由得，取得平面的一个法向量为，8分又平面的一个法向量为，9分所以，10分所以，解得或（舍去），11分此时，得即所求线段上的点满足.12分21.(12分)解：(l)设
14、椭圆焦距为， 由，解得，椭圆E的标准方程为.4分(2)由题意直线AP，BP斜率存在且均不为0设直线AP方程为，由得，.，. 7分又 ，从而代入得 . 9分又，以替代k，以-r 替代r，同理可得 ， 10分，10分对恒成立，解得或(舍)。经检验，此时，因此存在 12分22解：(I)， 1分当时，函数在区间上单调递减；2分当时，由，解得当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增3分( II)，其定义域为，令，4分，当时，恒成立，在上为增函数，5分又，函数在(0，1)内至少存在一个变号零点x0，且x0也是的变号零点，此时在区间(0，1)内有极值， .6分当时，即时，恒成立，函数在(0，1)单调递减，此时函数无极值.综上可得：在区间(0，1)内有极值时实数a的取值范围是7分(I)时，函数的定义域为由( II)可知：知时，又在区间上只有一个极小值点记为x1， 8分且时，函数单调递减，时，函数单调递增，由题意可知：x1即为x0，9分消去可得：，10分即令，则在区间上单调递增.又，11分由零点存在性定理知， .12分
