1、第2课时映射与函数1了解映射与函数的关系2理解映射的概念3掌握映射的判定方法1映射的定义设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x,在B中有一个且仅有一个元素y与x对应,则称f是集合A到集合B的映射这时,称y是x在映射f的作用下的象,记作f(x)于是yf(x),x称作y的原象映射f也可以记为:f:AB,xf(x),其中A叫做映射f的定义域,由所有象f(x)构成的集合叫做映射f 的值域,通常记作f(A)2一一映射如果映射f是集合A到集合B的映射,并且对于集合B中的任意一个元素,在集合A中都有且只有一个原象,这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系,并把这个映射叫
2、做从集合A到集合B的一一映射3映射与函数的关系函数是从数集到数集的映射1已知集合Aa,b,集合B0,1,下列对应不是A到B的映射的是()答案:C2下列各图中表示的对应,其中能构成映射的个数是()A4B3C2 D1解析:选D所谓映射,是指“多对一”或“一对一”的对应,且A中每一个元素都必须参与对应只有图(3)所表示的对应符合映射的定义,即A中的每一个元素在对应法则下,B中都有唯一的元素与之对应图(1)不是映射,因A中的元素c没有参与对应,即违背A中的任一元素都必须参与对应的原则图(2)、图(4)不是映射,这两个图中集合A中的元素在集合B中有多个元素与之对应,不满足集合A中的任一元素在集合B中有且
3、仅有唯一元素与之对应的原则综上,可知能构成映射的个数为13在映射的定义中,象集中的每个元素,都有唯一的原象与之对应吗?解:不一定在映射的定义中,对任意一个原象,在象集中有唯一的一个元素与之对应,而对于象集中的每个元素,可以有多个原象与之对应映射的判定在下列各题中,哪些对应法则是集合A到集合B的映射?哪些不是;若是映射,是否为一一映射?(1)AN,BN*,对应法则f:“把x对应到|x1|”;(2)Ax|0x6,By|0y2,对应法则f:“把x对应到”;(3)A1,2,3,4,B4,5,6,7,对应法则f:“把x对应到x3”【解】(1)集合AN中元素1在对应法则f作用下为0,而0N*,即A中元素1
4、在B中没有元素与之对应,故对应法则f不是从A到B的映射(2)集合A中元素6在对应法则f作用下为3,而3B,故对应法则f不是从A到B的映射(3)集合A中的每一个元素在对应法则f作用下,在集合B中都有唯一的一个元素与之对应,所以,对应法则是A到B的映射,又B中每一个元素在A中都有唯一的原象与之对应,故对应法则f:AB是一一映射将本例中(2)变为Ax|0x2,By|0y6,f:xx,其结论又如何呢?解:是映射,但不是一一映射因为A中的任何一个元素,在集合B中都能找到唯一的元素与之对应,但并不是集合B中的每一个元素都能在集合A中找到原象,故此对应法则是从A到B的映射,但不是一一映射要判断对应法则f:A
5、B是否是A到B的映射,必须注意集合A、B中的元素要明确;根据映射定义判断A中每一个元素是否在集合B中都有唯一确定的元素与之对应;若进一步判断是否为一一映射,还需要进一步判断集合B中的每个元素在A中是否有原象,集合A中的不同元素对应的象是否相同根据下列所给的对应法则,回答问题AN,BZ,f:xy3x1,xA,yB;Ax|x为高一(2)班的同学,Bx|x为身高,f:每个同学对应自己的身高;AR,BR,f:xy,xA,yB上述三个对应法则中,是映射的是_,是函数的是_答案:构成映射的个数集合Aa,b,Bm,n,从A到B可以建立多少种不同的映射?其中集合B中每一个元素都有原象的映射有多少个?【解】根据
6、映射定义,画出对应图从图中可以看到从A到B可以建立4种不同的映射,其中集合B中每一个元素都有原象的映射有2个确定两个非空集合建立不同映射的个数,可借助对应图直观进行判定 已知集合Aa,b,c,集合Bm,n,设集合A到集合B的不同映射个数为x,集合B中每个元素在集合A中找到原象的映射个数为y,求的值解:集合A中的3个元素只对应集合B中同一个元素的对应有2个,这时有2个不同的映射,如图集合A中的3个元素同时对应集合B中2个不同元素的对应有6个,这时有6个不同的映射,如图所以从集合A到集合B的所有不同的映射一共有8个,即x8;第二种情形中,即f3至f8中,集合B中每一个元素在A中都有原象,所以y6,
7、所以象与原象已知映射f:AB(x,y)|xR,yR,f:(x,y)(x2y2,4xy)(1)求A中元素(5,5)的象;(2)求B中元素(5,5)的原象【解】(1)当x5,y5时,x2y217,4xy25故A中元素(5,5)的象是(17,25)(2)令B中元素(5,5)的原象为(x,y),则,得故B中元素(5,5)的原象是(1,1)(1)解答此类问题的关键是分清原象和象;搞清楚由原象到象的对应法则 (2)对A中元素,求象只需将原象代入对应法则即可,对于B中元素求原象,可先设出它的原象,然后利用对应法则列出方程组求解已知集合AR,B(x,y)|x,yR,f:AB是从A到B的映射,f:x(x1,x2
8、1),求A中元素的象和B中元素的原象解:把x代入对应法则,得其象为(1,3)又由得x所以的象为(1,3),的原象为1映射与函数的区别与联系(1)相同点映射包括三要素:集合A,集合B,集合A、B之间的对应法则,函数也包括三要素:定义域,值域及二者之间的对应法则集合A到集合B的映射中,对于集合A中的任意一个元素a在集合B中都有唯一确定的元素b与之对应;在函数中,对于定义域中自变量x的每一个确定的值,在值域中都有唯一确定的函数值和它对应(2)不同点集合A到集合B的映射中,对于集合B中的任意一个元素b,在集合A中不一定有元素与之对应;在函数中,对于值域中每一个确定的函数值,在定义域中都有确定的值和它对
9、应;映射中A、B可为任何非空集合,函数中定义域、值域为非空数集2判断某种对应法则是否为集合A到集合B的映射的方法(1)明确集合A、B中的元素(2)判断A的每一个元素是否在集合B中有唯一的元素与之相对应若进一步判断是否为一一映射,还需注意B中的每一个元素在A中都有原象,集合A中的不同元素对应的象不相同(1)对于集合A中的不同元素,在B中可以有相同的象,即多对一(2)允许B中元素在A中没有原象与之对应1给出下列四个对应法则,是映射的是()ABCD解析:选C由映射的概念易得2设f:AB是从集合A到集合B的映射,则下面说法正确的是()AA中每一个元素在B中必有象BB中每一个元素在A中必有原象CB中每一
10、个元素在A中必有唯一原象DA中不同元素的象必不同答案:A3已知映射f:NN,xx21,则10的原象是_解析:由x2110解得x3,因为xN,所以x3答案:3A基础达标1下列集合A到集合B的对应法则f是映射的是()AA1,0,1,B1,0,1,f:A中的数平方BA0,1,B1,0,1,f:A中的数开方CAZ,BQ,f:A中的数的倒数DAR,B正实数,f:A中的数取绝对值解析:选AB中元素1在f下有两个元素1与之对应,不是映射;C中元素0无倒数,不是映射;D中元素0在B中无元素与之对应,不是映射2设集合A和集合B中的元素都属于N*,映射f:AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素n2n,则在映射
11、f下,象20的原象是()A4B5C4,5 D4,5答案:A3已知集合Mx|0x6,Py|0y3,则下列对应关系中不能看作从M到P的映射的是()Af:xyx Bf:xyxCf:xyx Df:xyx解析:选C选项C中,集合M中有的元素没有象,不是映射4点(x,y)在映射f下的象为(,),则点(2,0)在f作用下的象为()A(0,2) B(2,0)C(,1) D(,1)解析:选C因为,1,所以(2,0)在f作用下的象为(,1)5下列对应是从集合M到集合N的映射的是()MNR,f:xy,xM,yN;MNR,f:xyx2,xM,yN;MNR,f:xy,xM,yN;MNR,f:xyx3,xM,yNA BC
12、 D解析:选D对于,集合M中的元素0在N中无元素与之对应,所以不是映射对于,M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应,所以不是映射对于,M中的元素在N中都有唯一的元素与之对应,所以是映射故选D6若映射f:AB的象的集合是Y,原象的集合是X,则X与A的关系是_,Y与B的关系是_解析:由映射的定义可知集合A中的元素在集合B中必有象且唯一,集合B中的元素在集合A中不一定有原象答案:XAYB7已知集合Aa,b,Bc,d,则A到B的一一映射有_个答案:28已知集合ABR,xA,yB,f:xyaxb,若8和14的原象分别是1和3,则5在f作用下的象为_解析:由题意得解得所以对应法则为f:xy3x5故5在
13、f作用下的象是f(5)35520答案:209设AZ,BZ,f:x是AB的映射(1)设4A,则4在B中的象是什么?(2)设tA,且t在映射f下的象是5,则t应是多少?解:(1)因为4A,所以4在B中的象是3(2)由题意知t在映射f下的象是,由5得t710为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d对应密文a2b,2bc,2c3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文是什么?解:由题意得,解得a6,b4,c1,d7,因此得到的明文是6,4,1,7B能
14、力提升11集合Aa,b,B1,0,1,从A到B的映射f:AB满足f(a)f(b)0,那么这样的映射f:AB有()A2个 B3个C5个 D8个解析:选B当f(a)0,f(b)0时,f(a)f(b)0;当f(a)1,f(b)1时,f(a)f(b)0;当f(a)1,f(b)1时,f(a)f(b)012已知映射f:AB,其中A2,1,1,2,3,集合B中的元素都是A中元素在f下的象,且对任意aA,f(a),则集合B中的元素有_个,若1B,则1的原象是_答案:21,2,313某学习小组共有5名学生,一次期末考试语文、数学、外语成绩如表格所示:科目姓名语文数学外语总分张军100100100300李伟909
15、090270刘平110110110330王刚808080240李明707070210试问:若以5名同学组成集合A,各科成绩组成集合B,总分组成集合C(1)集合A到集合B是映射吗?集合B到集合A呢?(2)集合A到集合C是映射吗?是一一映射吗?若是映射,是函数吗?解:(1)集合A到集合B不是映射,因为每名同学对应三个成绩;而集合B到A是映射,其中每三个成绩对应一名同学,是多对一,符合映射定义(2)集合A到集合C是映射,且是一一映射,因为集合A中每一名同学在集合C中都有唯一一个总分与之对应,故是映射,又集合C中的每一个总分,在集合A中都有唯一的同学(原象)对应故是一一映射该映射不是函数,因为集合A不是数集14(选做题)若f:y3x1是从集合A1,2,3,k到集合B4,7,a4,a23a的一个映射,求自然数a,k及集合A、B解:1的象为4,2的象为7,所以可以判断A中元素3的象是a4或a23a由于a410且aN,不符合题意所以a23a10,即a5(舍)或a2又集合A中的元素k的象只能是a4,所以3k116,所以k5,所以A1,2,3,5,B4,7,10,16