1、第2课时映射与函数1了解映射与函数的关系2理解映射的概念3掌握映射的判定方法1映射的定义设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)于是yf(x)，x称作y的原象映射f也可以记为：f：AB，xf(x)，其中A叫做映射f的定义域，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f 的值域，通常记作f(A)2一一映射如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫
2、做从集合A到集合B的一一映射3映射与函数的关系函数是从数集到数集的映射1已知集合Aa，b，集合B0，1，下列对应不是A到B的映射的是()答案：C2下列各图中表示的对应，其中能构成映射的个数是()A4B3C2 D1解析：选D所谓映射，是指“多对一”或“一对一”的对应，且A中每一个元素都必须参与对应只有图(3)所表示的对应符合映射的定义，即A中的每一个元素在对应法则下，B中都有唯一的元素与之对应图(1)不是映射，因A中的元素c没有参与对应，即违背A中的任一元素都必须参与对应的原则图(2)、图(4)不是映射，这两个图中集合A中的元素在集合B中有多个元素与之对应，不满足集合A中的任一元素在集合B中有且
3、仅有唯一元素与之对应的原则综上，可知能构成映射的个数为13在映射的定义中，象集中的每个元素，都有唯一的原象与之对应吗？解：不一定在映射的定义中，对任意一个原象，在象集中有唯一的一个元素与之对应，而对于象集中的每个元素，可以有多个原象与之对应映射的判定在下列各题中，哪些对应法则是集合A到集合B的映射？哪些不是；若是映射，是否为一一映射？(1)AN，BN*，对应法则f：“把x对应到|x1|”；(2)Ax|0x6，By|0y2，对应法则f：“把x对应到”；(3)A1，2，3，4，B4，5，6，7，对应法则f：“把x对应到x3”【解】(1)集合AN中元素1在对应法则f作用下为0，而0N*，即A中元素1
4、在B中没有元素与之对应，故对应法则f不是从A到B的映射(2)集合A中元素6在对应法则f作用下为3，而3B，故对应法则f不是从A到B的映射(3)集合A中的每一个元素在对应法则f作用下，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，所以，对应法则是A到B的映射，又B中每一个元素在A中都有唯一的原象与之对应，故对应法则f：AB是一一映射将本例中(2)变为Ax|0x2，By|0y6，f：xx，其结论又如何呢？解：是映射，但不是一一映射因为A中的任何一个元素，在集合B中都能找到唯一的元素与之对应，但并不是集合B中的每一个元素都能在集合A中找到原象，故此对应法则是从A到B的映射，但不是一一映射要判断对应法则f：A
5、B是否是A到B的映射，必须注意集合A、B中的元素要明确；根据映射定义判断A中每一个元素是否在集合B中都有唯一确定的元素与之对应；若进一步判断是否为一一映射，还需要进一步判断集合B中的每个元素在A中是否有原象，集合A中的不同元素对应的象是否相同根据下列所给的对应法则，回答问题AN，BZ，f：xy3x1，xA，yB；Ax|x为高一(2)班的同学，Bx|x为身高，f：每个同学对应自己的身高；AR，BR，f：xy，xA，yB上述三个对应法则中，是映射的是_，是函数的是_答案：构成映射的个数集合Aa，b，Bm，n，从A到B可以建立多少种不同的映射？其中集合B中每一个元素都有原象的映射有多少个？【解】根据
6、映射定义，画出对应图从图中可以看到从A到B可以建立4种不同的映射，其中集合B中每一个元素都有原象的映射有2个确定两个非空集合建立不同映射的个数，可借助对应图直观进行判定 已知集合Aa，b，c，集合Bm，n，设集合A到集合B的不同映射个数为x，集合B中每个元素在集合A中找到原象的映射个数为y，求的值解：集合A中的3个元素只对应集合B中同一个元素的对应有2个，这时有2个不同的映射，如图集合A中的3个元素同时对应集合B中2个不同元素的对应有6个，这时有6个不同的映射，如图所以从集合A到集合B的所有不同的映射一共有8个，即x8；第二种情形中，即f3至f8中，集合B中每一个元素在A中都有原象，所以y6，
7、所以象与原象已知映射f：AB(x，y)|xR，yR，f：(x，y)(x2y2，4xy)(1)求A中元素(5，5)的象；(2)求B中元素(5，5)的原象【解】(1)当x5，y5时，x2y217，4xy25故A中元素(5，5)的象是(17，25)(2)令B中元素(5，5)的原象为(x，y)，则，得故B中元素(5，5)的原象是(1，1)(1)解答此类问题的关键是分清原象和象；搞清楚由原象到象的对应法则 (2)对A中元素，求象只需将原象代入对应法则即可，对于B中元素求原象，可先设出它的原象，然后利用对应法则列出方程组求解已知集合AR，B(x，y)|x，yR，f：AB是从A到B的映射，f：x(x1，x2
8、1)，求A中元素的象和B中元素的原象解：把x代入对应法则，得其象为(1，3)又由得x所以的象为(1，3)，的原象为1映射与函数的区别与联系(1)相同点映射包括三要素：集合A，集合B，集合A、B之间的对应法则，函数也包括三要素：定义域，值域及二者之间的对应法则集合A到集合B的映射中，对于集合A中的任意一个元素a在集合B中都有唯一确定的元素b与之对应；在函数中，对于定义域中自变量x的每一个确定的值，在值域中都有唯一确定的函数值和它对应(2)不同点集合A到集合B的映射中，对于集合B中的任意一个元素b，在集合A中不一定有元素与之对应；在函数中，对于值域中每一个确定的函数值，在定义域中都有确定的值和它对
9、应；映射中A、B可为任何非空集合，函数中定义域、值域为非空数集2判断某种对应法则是否为集合A到集合B的映射的方法(1)明确集合A、B中的元素(2)判断A的每一个元素是否在集合B中有唯一的元素与之相对应若进一步判断是否为一一映射，还需注意B中的每一个元素在A中都有原象，集合A中的不同元素对应的象不相同(1)对于集合A中的不同元素，在B中可以有相同的象，即多对一(2)允许B中元素在A中没有原象与之对应1给出下列四个对应法则，是映射的是()ABCD解析：选C由映射的概念易得2设f：AB是从集合A到集合B的映射，则下面说法正确的是()AA中每一个元素在B中必有象BB中每一个元素在A中必有原象CB中每一
10、个元素在A中必有唯一原象DA中不同元素的象必不同答案：A3已知映射f：NN，xx21，则10的原象是_解析：由x2110解得x3，因为xN，所以x3答案：3A基础达标1下列集合A到集合B的对应法则f是映射的是()AA1，0，1，B1，0，1，f：A中的数平方BA0，1，B1，0，1，f：A中的数开方CAZ，BQ，f：A中的数的倒数DAR，B正实数，f：A中的数取绝对值解析：选AB中元素1在f下有两个元素1与之对应，不是映射；C中元素0无倒数，不是映射；D中元素0在B中无元素与之对应，不是映射2设集合A和集合B中的元素都属于N*，映射f：AB把集合A中的元素n映射到集合B中的元素n2n，则在映射
11、f下，象20的原象是()A4B5C4，5 D4，5答案：A3已知集合Mx|0x6，Py|0y3，则下列对应关系中不能看作从M到P的映射的是()Af：xyx Bf：xyxCf：xyx Df：xyx解析：选C选项C中，集合M中有的元素没有象，不是映射4点(x，y)在映射f下的象为(，)，则点(2，0)在f作用下的象为()A(0，2) B(2，0)C(，1) D(，1)解析：选C因为，1，所以(2，0)在f作用下的象为(，1)5下列对应是从集合M到集合N的映射的是()MNR，f：xy，xM，yN；MNR，f：xyx2，xM，yN；MNR，f：xy，xM，yN；MNR，f：xyx3，xM，yNA BC
12、 D解析：选D对于，集合M中的元素0在N中无元素与之对应，所以不是映射对于，M中的元素0及负实数在N中没有元素与之对应，所以不是映射对于，M中的元素在N中都有唯一的元素与之对应，所以是映射故选D6若映射f：AB的象的集合是Y，原象的集合是X，则X与A的关系是_，Y与B的关系是_解析：由映射的定义可知集合A中的元素在集合B中必有象且唯一，集合B中的元素在集合A中不一定有原象答案：XAYB7已知集合Aa，b，Bc，d，则A到B的一一映射有_个答案：28已知集合ABR，xA，yB，f：xyaxb，若8和14的原象分别是1和3，则5在f作用下的象为_解析：由题意得解得所以对应法则为f：xy3x5故5在
13、f作用下的象是f(5)35520答案：209设AZ，BZ，f：x是AB的映射(1)设4A，则4在B中的象是什么？(2)设tA，且t在映射f下的象是5，则t应是多少？解：(1)因为4A，所以4在B中的象是3(2)由题意知t在映射f下的象是，由5得t710为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文(加密)，接收方由密文明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a2b，2bc，2c3d，4d，例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文是什么？解：由题意得，解得a6，b4，c1，d7，因此得到的明文是6，4，1，7B能
14、力提升11集合Aa，b，B1，0，1，从A到B的映射f：AB满足f(a)f(b)0，那么这样的映射f：AB有()A2个 B3个C5个 D8个解析：选B当f(a)0，f(b)0时，f(a)f(b)0；当f(a)1，f(b)1时，f(a)f(b)0；当f(a)1，f(b)1时，f(a)f(b)012已知映射f：AB，其中A2，1，1，2，3，集合B中的元素都是A中元素在f下的象，且对任意aA，f(a)，则集合B中的元素有_个，若1B，则1的原象是_答案：21，2，313某学习小组共有5名学生，一次期末考试语文、数学、外语成绩如表格所示：科目姓名语文数学外语总分张军100100100300李伟909
15、090270刘平110110110330王刚808080240李明707070210试问：若以5名同学组成集合A，各科成绩组成集合B，总分组成集合C(1)集合A到集合B是映射吗？集合B到集合A呢？(2)集合A到集合C是映射吗？是一一映射吗？若是映射，是函数吗？解：(1)集合A到集合B不是映射，因为每名同学对应三个成绩；而集合B到A是映射，其中每三个成绩对应一名同学，是多对一，符合映射定义(2)集合A到集合C是映射，且是一一映射，因为集合A中每一名同学在集合C中都有唯一一个总分与之对应，故是映射，又集合C中的每一个总分，在集合A中都有唯一的同学(原象)对应故是一一映射该映射不是函数，因为集合A不是数集14(选做题)若f：y3x1是从集合A1，2，3，k到集合B4，7，a4，a23a的一个映射，求自然数a，k及集合A、B解：1的象为4，2的象为7，所以可以判断A中元素3的象是a4或a23a由于a410且aN，不符合题意所以a23a10，即a5(舍)或a2又集合A中的元素k的象只能是a4，所以3k116，所以k5，所以A1，2，3，5，B4，7，10，16