1、2014-2015学年海南省儋州市洋浦中学高二（下）期末数学模拟试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）1已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离（）A 2B 3C 5D 72与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（，2）的双曲线的方程为（）A B 2x2=1C D 3双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A B C D 4已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A B C D 5已知双曲线的一条渐
2、近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A B C D 6若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A 2B 2C 4D 47过曲线y=f（x）=图象上一点（2，2）及邻近一点（2+x，2+y）作割线，则当x=0.5时割线的斜率为（）A B C 1D 8已知函数f（x）=ax2+c，且f（1）=2，则a的值为（）A 1B C 1D 09已知f1（x）=sinx+cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）=f1（x），f3（x）=f2（x），fn+1（x）=fn（x），nN*，则f2015（x）=（）A sinx+cosx
3、B sinxcosxC sinxcosxD sinx+cosx10=（）A B 2eC D 11下列求导运算正确的是（）A （）=B （log2x）=C （cosx）=sinxD （x2+1）=2x+412已知f（x）=x2+sin（+x），f（x）为f（x）的导函数，则f（x）的图象是（）A B C D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13设F1是椭圆x2+=1的下焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则的最大值为14在极坐标系中，曲线cos+sin=2（02）与=的交点的极坐标是15在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F且与该抛物线交于A、B两点其中点A在x轴上方若直线l
4、的倾斜角为60则OAB的面积为16已知函数的对称中心为M（x0，y0），记函数f（x）的导函数为f（x），函数f（x）的导函数为f（x），则有f（x0）=0若函数f（x）=x33x2，则可求得：f（）+f（）+f（）+f（）=三.解答题（12×5=60）17已知抛物线y2=4x，直线l：y=x+b与抛物线交于A，B两点（）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（）若直线l与y轴负半轴相交，求AOB面积的最大值18已知曲线f（x）=x（a+blnx）过点P（1，3），且在点P处的切线恰好与直线2x+3y=0垂直求（） 常数a，b的值；（）f（x）的单调区间19已知直线l经过点，倾
5、斜角，圆C的极坐标方程为（1）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积20已知直线l经过抛物线x2=4y的焦点，且与抛物线交于A，B两点，点O为坐标原点（）证明：AOB为钝角（）若AOB的面积为4，求直线l的方程21已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx1与曲线E交于A、B两点如果，且曲线E上存在点C，使（）求曲线E的方程；（）求AB的直线方程；（）求m的值一、（选做题）请考生在第22、23、24题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题记分作答时请写清题号（10分）22双曲线的两条渐近线的方程为y=x，
6、且经过点（3，2）（1）求双曲线的方程；（2）过右焦点F且倾斜角为60的直线交双曲线于A、B两点，求|AB|一、选做题2015春儋州校级期末）已知函数f（x）=x3+求函数f（x）在点P（2，4）处的切线方程一、选做题2015江西二模）已知圆的极坐标方程为：（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值2014-2015学年海南省儋州市洋浦中学高二（下）期末数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）1已知椭圆上的一点P到椭圆一个焦点的距
7、离为3，则P到另一个焦点的距离（）A 2B 3C 5D 7考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据条件求出a=5；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论解答：解：设所求距离为d，由题得：a=5根据椭圆的定义得：2a=3+dd=2a3=7故选D点评：本题主要考查椭圆的定义在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口2与双曲线有共同的渐近线，且经过点A（，2）的双曲线的方程为（）A B 2x2=1C D 考点：双曲线的标准方程专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由双曲线有共同渐近线的特点设出双曲线的方程为=，把点
8、A（，2），代入求出再化简即可解答：解：由题意设所求的双曲线的方程为=，因为经过点A（，2），所以=，即=9，代入方程化简得，故选：C点评：本题考查双曲线特有的性质：渐近线，熟练掌握双曲线有共同渐近线的方程特点是解题的关键3双曲线的顶点到渐近线的距离等于（）A B C D 考点：双曲线的简单性质；点到直线的距离公式专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离解答：解：由对称性可取双曲线的顶点（2，0），渐近线，则顶点到渐近线的距离d=故选C点评：熟练掌握双曲线的顶点、渐近线方程及得到直线的距离公式是解题的关键
9、4已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（）A B C D 考点：椭圆的应用；椭圆的简单性质专题：计算题分析：由ABF2是正三角形可知，即，由此推导出这个椭圆的离心率解答：解：由题，即，解之得：（负值舍去）故答案选A点评：本题考查椭圆的基本性质及其应用，解题要注意公式的合理选取5已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A B C D 考点：双曲线的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线标准方程易得其准线方程为x=6，而通过双曲线的标准方程可见其
10、焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（6，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=x，可得=，则得a、b的另一个方程那么只需解a、b的方程组，问题即可解决解答：解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=6，则由题意知，点F（6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以，解得a2=9，b2=27，所以双曲线的方程为故选B点评：本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质6若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则P的值为（）A 2B 2C 4D 4考点：椭圆的简单性质专题：
11、圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过椭圆、抛物线的焦点相同，计算即得结论解答：解：由a2=6、b2=2，可得c2=a2b2=4，到椭圆的右焦点为（2，0），抛物线y2=2px的焦点（2，0），p=4，故选：C点评：本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题7过曲线y=f（x）=图象上一点（2，2）及邻近一点（2+x，2+y）作割线，则当x=0.5时割线的斜率为（）A B C 1D 考点：变化的快慢与变化率；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的概念专题：直线与圆分析：由题意，当x=0.5时，2+x=2.5，代入函数式求得2+y，由斜率公式可得解答：解：当x=0.5时，2+x=2.5
12、，故2+y=，故kPQ=故选B点评：本题考查了变化率的应用，斜率公式的运用，属于基础题8已知函数f（x）=ax2+c，且f（1）=2，则a的值为（）A 1B C 1D 0考点：导数的运算专题：计算题分析：先求出f（ x），再由f（1）=2求出a的值解答：解：函数f （x ）=a x2+c，f（ x）=2ax又f（1）=2，2a1=2，a=1故答案为A点评：本题考查导数的运算法则9已知f1（x）=sinx+cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）=f1（x），f3（x）=f2（x），fn+1（x）=fn（x），nN*，则f2015（x）=（）A sinx+cosxB sinxc
13、osxC sinxcosxD sinx+cosx考点：导数的运算专题：导数的综合应用分析：求函数的导数，确定函数fn（x）的周期性即可解答：解：f1（x）=sinx+cosx，f2（x）=f1（x）=cosxsinx，f3（x）=f2（x）=sinxcosx，f4（x）=f3（x）=cosx+sinx，f5（x）=f4（x）=sinx+cosx，fn+4（x）=fn（x），即fn（x）是周期为4的周期函数，f2015（x）=f2014（x）=f2（x）=sinxcosx，故选：B点评：本题主要考查导数的计算，根据导数公式求出函数的周期性是解决本题的关键10=（）A B 2eC D 考点：微积分
14、基本定理专题：计算题分析：先求出被积函数ex+ex的原函数，然后根据定积分的定义求出所求即可解答：解：（ exex）=ex+ex01（ex+ex）dx=（ exex）|01=e1+1=e故选D点评：本题主要考查了定积分的运算，定积分的题目往往先求出被积函数的原函数，属于基础题11下列求导运算正确的是（）A （）=B （log2x）=C （cosx）=sinxD （x2+1）=2x+4考点：导数的运算专题：导数的概念及应用分析：根据导数的运算公式进行判断即可解答：解：A（）=，故A错误，B（log2x）=，故B正确，C（cosx）=sinx，故C错误，D（x2+1）=2x，故D错误，故选：B点评
15、：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础12已知f（x）=x2+sin（+x），f（x）为f（x）的导函数，则f（x）的图象是（）A B C D 考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：本题可用排除法，由题意得函数f（x）为奇函数，故A、D错误；又=10，故C错误；即可得出结论解答：解：f（x）=x2+sin（+x），f（x）=x+cos（）=xsinx函数f（x）为奇函数，故A、D错误；又=10，故C错误；故选B点评：本题主要考查利用函数的性质判断函数的图象知识，可从函数的奇偶性、单调性、周期性、特殊点等方面进行判断逐一排除，属于中档题二、填空题
16、：本大题共4小题，每小题5分13设F1是椭圆x2+=1的下焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则的最大值为4+考点：椭圆的简单性质；平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据椭圆的标准方程求出F1的坐标（0，），设P（x，y），所以可求出向量的坐标，所以结合点P满足椭圆的方程，可求出，而y2，2，所以y=2时取到最大值，所以将y=2带入即可求出该最大值解答：解：根据椭圆的标准方程知，设P（x，y），则：=；又2y2；y=2时，取最大值4故答案为：4点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，以及向量数量积的坐标运算，以及观察法求二次函数的最值14在极坐标系中，曲线c
17、os+sin=2（02）与=的交点的极坐标是考点：简单曲线的极坐标方程专题：坐标系和参数方程分析：把=代入曲线cos+sin=2（02）解出即可得出解答：解：把=代入曲线cos+sin=2（02）可得=2，化为=曲线cos+sin=2（02）与=的交点的极坐标是故答案为：点评：本题考查了极坐标系下曲线的交点坐标，考查了推理能力与计算能力，属于基础题15在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2=4x的焦点F且与该抛物线交于A、B两点其中点A在x轴上方若直线l的倾斜角为60则OAB的面积为考点：抛物线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：通过题意易知直线l方程为：，利用韦达定理、两点间距
18、离公式可知|AB|=，结合点到直线的距离公式、三角形面积公式计算即得结论解答：解：抛物线方程为：y2=4x，F（1，0），又直线l的倾斜角为60，直线l的斜率k=tan60=，直线l方程为：y=（x1），即，联立，消去y整理得：3x210x+3=0，xA+xB=，xAxB=1，yAyB=（xA1）（xB1）=（xAxB），|AB|=2=2=，又原点O到直线AB的距离d=，SOAB=|AB|d=，故答案为：点评：本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合，注意解题方法的积累，属于中档题16已知函数的对称中心为M（x0，y0），记函数f（x）的导函数为f（x），函数f（x）的导函数为f（x），则有f（
19、x0）=0若函数f（x）=x33x2，则可求得：f（）+f（）+f（）+f（）=8046考点：导数的运算专题：导数的概念及应用分析：由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（1，2）对称，即f（x）+f（2x）=4，而要求的式子可用倒序相加法求解，再利用倒序相加，即可得到结论解答：解：f（x）=3x26x，f（x）=6x6，令f（x0）=0，x0=1而f（1）=2，故函数f（x）=x33x2关于点（1，2）对称，即f（x）+f（2x）=4f（）+f（）=4，f（）+f（）=4，f（）+f（）+f（）+f（）+f（）+f（）+f（）+f（）=4023（4），f（）+f（）+f（）=8046，故答
20、案为：8046点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加是关键三.解答题（12×5=60）17已知抛物线y2=4x，直线l：y=x+b与抛物线交于A，B两点（）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；（）若直线l与y轴负半轴相交，求AOB面积的最大值考点：抛物线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）联立得y2+8y8b=0由此利用根的判别式、弦长公式，结合已知条件能求出圆的方程（）由直线l与y轴负半轴相交，得1b0，由点O到直线l的距离d=，得SAOB=|AB|d=4由此利用导数性质能求出AOB的面积的最大值解答：解：（）联立得：y2+8y8b=0
21、依题意应有=64+32b0，解得b2设A（x1，y1），B（x2，y2），设圆心Q（x0，y0），则应有x0=，y0=4因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r=|y0|=4，又|AB|=所以|AB|=2r，即=8，解得b=所以x0=2b+8=，所以圆心为（，4）故所求圆的方程为（x）2+（y+4）2=16（）因为直线l与y轴负半轴相交，b0，又l与抛物线交于两点，由（）知b2，2b0，直线l：y=x+b整理得x+2y2b=0，点O到直线l的距离d=，所以SAOB=|AB|d=4b=4 令g（b）=b3+2b2，2b0，g（b）=3b2+4b=3b（b+），g（b）在（2，）增函数，在（
22、，0）是减函数，g（b）的最大值为g（）=当b=时，AOB的面积取得最大值点评：本题主要考查圆的方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查直线与抛物线、圆等知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力18已知曲线f（x）=x（a+blnx）过点P（1，3），且在点P处的切线恰好与直线2x+3y=0垂直求（） 常数a，b的值；（）f（x）的单调区间考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题分析：（）对函数f（x）=x（a+blnx）进行求导，根据P处切线斜率是，可得出即；然后根据曲线f（x）=x（a+blnx）过点P（1，3），求出a、b的值；（）首先对
23、函数f（x）进行求导，然后判断导函数的正负，即可求出f（x）的单调区间解答：解（）据题意f（1）=3，所以a=3（1），又曲线在点P处的切线的斜率为，f（1）=3，即（2）由（1）（2）解得（）当x（0，e）时，f（x）0；当x（e，+）时，f（x）0f（x）的单调区间为（0，e），（e，+），在区间（0，e）上是增函数，在区间（e，+）上是减函数点评：考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间，此题难度不大19已知直线l经过点，倾斜角，圆C的极坐标方程为（1）写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（2）设l与圆C相交于两点A，B，求点P到A，
24、B两点的距离之积考点：直线和圆的方程的应用；点的极坐标和直角坐标的互化专题：综合题分析：（1）由已知中直线l经过点，倾斜角，利用直线参数方程的定义，我们易得到直线l的参数方程，再由圆C的极坐标方程为，利用两角差的余弦公式，我们可得=cos+sin，进而即可得到圆C的标准方程（2）联立直线方程和圆的方程，我们可以得到一个关于t的方程，由于|t|表示P点到A，B的距离，故点P到A，B两点的距离之积为|t1t2|，根据韦达定理，即可得到答案解答：解：（1）直线l的参数方程为即（t为参数）（2分）由所以2=cos+sin（4分）得（6分）（2）把得（8分）（10分）点评：本题考查的知识点是直线与圆的方
25、程的应用，点的极坐标和直角坐标的互化，其中准确理解直线参数方程中参数的几何意义，极坐标方程中，的几何意义，是解答本题的关键20已知直线l经过抛物线x2=4y的焦点，且与抛物线交于A，B两点，点O为坐标原点（）证明：AOB为钝角（）若AOB的面积为4，求直线l的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（I）设直线l的方程为：y=kx+1，联立，得x24kx4=0，设直线l与抛物线的交点坐标A（x1，y1），B（x2，y2），由x1x2+y1y2=30，证明AOB为钝角（） 由（I）知：|AB|=4（k2+1），O到直线AB的距离，由此利用三角形的面积能求出直线方程
26、解答：（I）证明：依题意设直线l的方程为：y=kx+1（k必存在），联立，得x24kx4=0，=16k2+160，设直线l与抛物线的交点坐标A（x1，y1），B（x2，y2），则有，x1x2+y1y2=30，依向量的数量积定义，cosAOB0，AOB为钝角（）解：由（I）知：|AB|=4（k2+1），O到直线AB的距离，解得，直线方程为点评：本题考查角为钝角的证明，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用21已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx1与曲线E交于A、B两点如果，且曲线E上存在点C，使（）求曲线E的方程；（）求AB的直线方程；（）求m的值考点
27、：直线与圆锥曲线的综合问题专题：综合题分析：（）点P满足条件，由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，由此可得曲线E的方程；（） 设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程代入曲线方程，根据直线与双曲线左支交于两点A，B，利用韦达定理及，即可求得直线AB的方程；（）设C（xc，yc），由已知，得，从而可得点C的坐标代入曲线E的方程，即可求得m的值解答：解：（）由双曲线的定义可知，曲线E是以为焦点的双曲线的左支，且，b=1故曲线E的方程为x2y2=1（x0）（4分）（） 设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意建立方程组消去y，得（1k2）x2+2kx2=0又已知直线与双曲线
28、左支交于两点A，B，由解得（6分）又=依题意得 整理后得 28k455k2+25=0或但，故直线AB的方程为（9分）（）设C（xc，yc），由已知，得（x1，y1）+（x2，y2）=（mxc，myc），（m0）又，点，将点C的坐标代入曲线E的方程，得得m=4，但当m=4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意m=4，（13分）点评：本题考查双曲线的定义，考查直线与曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，解题的关键是正确运用双曲线的定义，利用韦达定理解决弦长问题一、（选做题）请考生在第22、23、24题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题记分作答时请写清题号（10分）22双曲线的两条渐近线的方程为y
29、=x，且经过点（3，2）（1）求双曲线的方程；（2）过右焦点F且倾斜角为60的直线交双曲线于A、B两点，求|AB|考点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）首先根据双曲线的两条渐近线的方程为y=x，可设双曲线的方程为2x2y2=（0），然后根据双曲线过点（3，2），代入求解即可；（2）设A（x1、y1）、B（x2、y2），过F且倾斜角为60的直线方程为y=，和双曲线的方程联立，根据韦达定理，求出|AB|的值即可解答：解：（1）双曲线的两条渐近线方程的方程为，可设双曲线的方程为2x2y2=（0），又双曲线经过点（3，2），代入方程可得=6，所求双曲线的方程为；（2）设A（
30、x1、y1）、B（x2、y2），过F且倾斜角为60的直线方程为y=，联立，可得 所以x218x+33=0，由韦达定理得x1+x2=18，x1x2=33，则弦长|AB|=2=16点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了待定系数法、弦长公式，以及韦达定理的应用，属于中档题一、选做题2015春儋州校级期末）已知函数f（x）=x3+求函数f（x）在点P（2，4）处的切线方程考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的概念及应用；直线与圆分析：求得函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程，即可得到所求切线方程解答：解：函数f（x）=x3+的导数为f（x）=x2，则函数f（x）在点P（2，4）处的
31、切线斜率为k=f（2）=4，即有函数f（x）在点P（2，4）处的切线方程为y4=4（x2），即为4xy4=0点评：本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，正确求得导数和运用点斜式方程是解题的关键一、选做题2015江西二模）已知圆的极坐标方程为：（1）将极坐标方程化为普通方程；（2）若点P（x，y）在该圆上，求x+y的最大值和最小值考点：点的极坐标和直角坐标的互化；圆的参数方程专题：计算题分析：（1）极坐标方程即 24（+ ），即 x2+y24x4y+6=0（2）圆的参数方程为 ，故 x+y=4+（sin+cos）=4+2sin（+），由于 1sin（+）1，可得 2x+y6解答：解：（1） 即 24（+ ），即 x2+y24x4y+6=）圆的参数方程为 ，x+y=4+（sin+cos）=4+2sin（+）由于1sin（+）1，2x+y6，故x+y 的最大值为6，最小值等于 2点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，圆的参数方程，得到圆的参数方程为 ，是解题的关键
