1、第 2 讲 分类讨论思想、转化与化归思想一、分类讨论思想求解数学问题最简便的技巧分类讨论思想的含义分类讨论的思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度.分类讨论思想在解题中的应用 1 由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等2 由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运
2、算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列an的前n项和公式等3 由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等4 由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等5 由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.由概念、法则、公式引起的分类讨论典例(2015山东高考)已知函数 f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1,0，则 ab_.解析 当 a1 时，函数 f(x)axb 在1，0 上为增函数，由题
3、意得a1b1，a0b0无解当 0a1，且f(a)3，则 f(6a)()A74 B54C34D14即时应用解析：由于 f(a)3，若 a1，则 2a123，整理得 2a11.由于 2x0，所以 2a11 无解；若 a1，则log2(a1)3，解得 a18，a7，所以 f(6a)f(1)211274.综上所述，f(6a)74.答案：A由参数变化引起的分类讨论典例(2015广东高考)设 a 为实数，函数 f(x)(xa)2|xa|a(a1)(1)若 f(0)1，求 a 的取值范围；(2)讨论 f(x)的单调性解(1)f(0)a2|a|a2a|a|a1，当 a0 时，01，成立；当 a0 时，2a1，
4、得 a12，即 0a12.综上，a 的取值范围为，12.(2)f(x)x22a1x，xa，x22a1x2a，xa，当 xa 时，f(x)对应的抛物线的对称轴为 x2a12a12a，且开口向上，f(x)在a，)上单调递增；当 xa 时，f(x)对应的抛物线的对称轴为 x2a12a12a，且开口向上，f(x)在(，a)上单调递减综上，f(x)在a，)上单调递增，在(，a)上单调递减技法领悟(1)本题两问都利用了分类讨论思想，第(1)问去掉绝对值进行分类讨论，第(2)问研究二次函数性质对对称轴进行分类讨论(2)若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型
5、，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏即时应用2已知函数 f(x)sin x，g(x)mxx36(m 为实数)(1)求曲线 yf(x)在点 P4，f 4 处的切线方程；(2)求函数 g(x)的单调递减区间解：(1)由题意得所求切线的斜率 kf4 cos 4 22.切点P4，22，则切线方程为 y 22 22 x4，即 x 2y140.(2)g(x)m12x2.当 m0 时，g(x)0，则 g(x)的单调递减区间是(，)；当m0时，令g(x)0，解得x2m或x2m，则g(x)的单调递减区间是(，2m)，(2m，)综
6、上所述，m0时，g(x)的单调递减区间是(，)；m0时，g(x)的单调递减区间是(，2m)，(2m，)根据图形位置或形状分类讨论典例 设F1，F2为椭圆x29 y24 1的两个焦点，P为椭圆上一点已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，求|PF1|PF2|的值解 若PF2F190.则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，又|PF1|PF2|6，|F1F2|2 5，解得|PF1|143，|PF2|43，|PF1|PF2|72.若F1PF290，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，|PF1|2(6|PF1|)220，|PF1|4，|PF2|2，|PF1|PF2|
7、2.综上知，|PF1|PF2|72或 2.技法领悟(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论(2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论即时应用3正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为()A.8 33 B4 3C.2 39D4 3或8 33解析：当矩形长、宽分别为6和4时，体积V2 312443；当长、宽分别为4和6时，体积V 43 2 331268 33.答案：D 归纳总结1分类讨论的原则(1)不重不漏(2)标准要统一，层次要分明(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论2分类讨
8、论的思维流程明确讨论的对象和动机确定分类的标准逐类进行讨论归纳综合结论检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.转化与化归思想的含义转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.二、转化与化归思想求解数学问题最普遍的方法转化与化归思想在解题中的应用1 在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以
9、起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等2 换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法转化与化归思想在解题中的应用3 在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化4 在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解转化与化归思想在解题中的应用5在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f(x)构成的方程、不等式问题求解6 在解决解析几何、立体几何问题时，常
10、常在数与形之间进行转化.典例 若对于任意t1,2，函数g(x)x3m22 x22x在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是_正与反的相互转化解析 g(x)3x2(m4)x2，若 g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则g(x)0 在(t,3)上恒成立，或g(x)0 在(t,3)上恒成立(正反转化)由得 3x2(m4)x20，即 m42x3x，当 x(t,3)时恒成立，m42t3t 恒成立，则 m41，即 m5；由得3x2(m4)x20，即m42x3x，当x(t,3)时恒成立，则m4239，即m373.函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的m的取值范围为373，5.答案
11、373，5技法领悟(1)本题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其反面，体现“正难则反”的原则(2)题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从后面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中1由命题“存在 x0R，使 e|x01|m0”是假命题，得m 的取值范围是(，a)，则实数 a 的取值是()A(，1)B(，2)C1 D2即时应用解析：命题“存在 x0R，使 e|x01|m0”是假命题，可知它的否定形式“任意 xR，使 e|x1|m0”是真命题，可得 m 的取值范围是(，1)，而(，a)与(，1)为同一区间，故 a1.答案：C 主与次的
12、相互转化典例 已知函数 f(x)x33ax1，g(x)f(x)ax5，其中 f(x)是 f(x)的导函数对满足1a1 的一切 a 的值，都有 g(x)0，则实数 x 的取值范围为_解析 由题意，知g(x)3x2ax3a5，令(a)(3x)a3x25，1a1.对1a1，恒有g(x)0，即(a)0，10，10，即3x2x20，3x2x80，解得23x1.故当x 23，1 时，对满足1a1的一切a的值，都有g(x)4xp3成立的x的取值范围是_解析：设f(p)(x1)px24x3，则当x1时，f(p)0.所以x1.f(p)在0p4上恒为正，等价于f00，f40，即x3x10，x210，解得x3或x谢谢观看
