1、6.3 基本不等式 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 6.3 基本不等式双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1基本不等式如果 a、b 都是正数，那么ab2 ab，当且仅当_时，等号成立，称上述不等式为基本不等式其中_称为 a、b 的算术平均数，_称为 a、b 的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式abab2abxy2利用基本不等式求最值已知 x，y 都是正数(1)如果积 xy 是定值 p，那么当_时，和 xy 有最小值_；(2)如果和 xy 是定值 s，那么当 xy 时，积 xy 有最大值_.2 p14s2思考感悟 应用均值不等式求最值有哪些条件？提示：应用基本不等式需注意
2、以下三点：各项或各因式为正；和或积为定值；各项或各因式能取得相等的值必要时作适当变形，以满足上述前提，即“一正，二定，三相等”课前热身 答案：C1(教材习题改编)设 x，yR，且 xy210，则 lgxy 的最大值是()A50 B20C1lg5 D1答案：A2“ab0”是“ab0)，则|OP|(O 为坐标原点)的最小值是()A.5B.3C5D34若x0，y0且x8y1，则xy的最大值为_答案：1325建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为_元答案：1760考点探究挑战高考 考点突破 利用基本不等式求最值利用
3、基本不等式求最值时需要特别注意函数的定义域，保证等号成立的条件存在；若等号成立的条件不满足，则可借助函数的单调性求解例1(1)(2010 年高考山东卷)若对任意 x0，xx23x1 a 恒 成 立，则 a 的 取 值 范 围 是_(2)(2010 年高考浙江卷)若正实数 x，y 满足 2xy6xy，则 xy 的最小值是_(3)(2010 年高考四川卷)设 abc0，则 2a2 1ab1aab10ac25c2 的最小值是()A2 B4C2 5D5【思路点拨】(1)、(2)、(3)小题直接利用基本不等式或创设条件利用基本不等式求解【解析】(1)因为 x0，所以 x1x2(当且仅当 x1 时取等号)
4、，所以有xx23x11x1x3 12315，即xx23x1的最大值为15，故 a15.(2)由基本不等式得 xy2 2 xy6，令 xyt 得不等式 t22 2t60，解得 t 2(舍去)或者t3 2，故 xy 的最小值为 18.(3)原式a2 1ab1aaba210ac25c2a21bab(a5c)2a2 4a204，当且仅当 bab、a5c 且 a2 4a2，即 a2b5c 2时“”都成立，故原式的最小值为 4，选 B.【答案】(1)15，)(2)18(3)B【规律小结】(1)在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三相等等号能取得”，这三个方面缺
5、一不可(2)对于求分式型的函数最值题，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法(3)为了创造条件使用基本不等式，就需要对式子进行恒等变形，运用基本不等式求最值的焦点在于凑配“和”与“积”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件，另外，可利用二次函数的配方法求最值变式训练 1 若 a、b 是正数，则ab2、ab、2abab、a2b22这四个数的大小顺序是()A.abab2 2ababa2b22B.a2b22abab2 2ababC.2abababab2 a2b22D.abab2 a2b22 2abab解析：选 C
6、.a、b 是正数，2abab 2ab2 ab ab，而 abab2，又 a2b22ab2(a2b2)(ab)2a2b22(ab2)2，ab2 a2b22，因此 2abab abab2 a2b22，故选 C.利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，是指从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”例2 若 a0，b0，ab1，求证：1a1b4.【思路点拨】利用 a2b22ab 和 ab2 ab(a0，b0)证明【证明】a0，b0，ab1，1a 1b aba
7、abb 2 ba ab 2 2 baab4.即1a1b4.【名师点评】(1)证明不等式除合理选择基本不等式之外还经常用其变形和拓展的不等式：如2abab abab2 a2b22(a0，b0)(2)“1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到，也会给解决问题提供简捷的方法基本不等式的实际应用在实际应用问题中，有很多是不等关系问题，在研究实际问题中的不等量关系，探求最优解，研究变化状态与趋向中，不等式的基本知识与基本方法有着广泛应用实际问题中求函数的最值，限于变量的实际意义(取值范围)，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到“”号，此时要考虑函数的单调性例3 围建一个面积为360 m2的矩形场地
8、，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)(1)将y表示为x的函数；(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【思路点拨】设矩形的另一边长为 a，则 a360 x，由题意可建立总费用与旧墙长度 x 的函数关系，进而通过求函数最值确定 x 的取值【解】(1)如图，设矩形的另一边长为a m，则 y45x180(x2)1802a225x360a360，由已知 x
9、a360，得 a360 x，所以 y225x3602x 360(x0)(2)x0，225x3602x 2 225360210800.y225x3602x 36010440.当且仅当 225x3602x，即 x24 时，等号成立即当 x24 m 时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元【名师点评】解实际应用题要注意以下几点：设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解 变式训练 2 某工厂有一段旧墙长 14 m，现准备利用这
10、段旧墙为一面，建造平面图形为矩形，面积为 126 m2的厂房，工程条件是：建 1 m 新墙费用为 a 元；修 1 m 旧墙费用是a4元；拆去 1 m 旧墙，用所得材料建 1 m 新墙费用为a2元，经过讨论有两种方案：利用旧墙的一段 x m(x14)为矩形厂房一面的边长；矩形厂房利用旧墙的一边边长 x14，问：如何利用旧墙，即 x 为多少米时，建墙费用最省？两种方案哪种更好？解：利用旧墙的一段 x m(x14)，则修墙费用为a4x元，将剩余旧墙拆得材料建新墙费用为a2(14x)元，其余建新墙的费用为(2x2126x14)a 元则总费用为 yx4a14x2a(2x252x 14)a7a(x436x
11、 1)(0 x0)在 a，)上为增函数，得y1x126x 在14，)上为增函数当 x14 m 时，ymin72a2a(1412614 7)35.5a，综上所述，采用方案，利用旧墙 12 m 为矩形一边长时，建墙费用最省即方案好方法感悟 方法技巧1恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形(如例1(1)2基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点(如例2)3合理拆项或配凑因式是常用的技巧，而拆与凑的目标在于使等号成立，且每项为正值，必
12、要时出现积为定值或和为定值(如例1(3)失误防范1当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否有误的一种方法2使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是忽视了“一正、二定、三相等”这一前提条件要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(1)确保“一正”对于负数，很多不等关系就不一定成立如：当 xb0，则 a2 1ab1aab的最小值是()A1 B2C3D4【解析】a2 1ab1aaba21baba24a24，当且仅当 bab 且 a2 4a2，即
13、 a 2，b 22 时“”都成立，故原式最小值为 4，故选 D.【答案】D【名师点评】(1)本题易失误的是：不会凑，不能把 1ab1aab变形为1bab；不会放缩，不能由 b(ab)bab22a24 放缩出1bab 4a2；找不到解题思路(2)利用基本不等式求解最值时要注意两个方面：一是“凑”的技巧，即凑定值，就是对不等式进行巧妙分析、组合、添加系数等使之变成可用基本不等式的形式；二是当等号成立的条件不具备时，要利用函数的单调性判断最值当 a，b 都为负数时，通过变形也可利用均值不等式求解最值与范围名师预测 1已知 a，b 为正实数且 ab1，若不等式(xy)(axby)M 对任意正实数 x，y 恒成立，则 M 的取值范围是()A4，)B(，0C(，4 D(，4)解析：选 D.因为(xy)(axby)abayx bxyab22 ab24，当且仅当 ab，ayx bxy 时，等号成立，即 ab，xy，故只要 M0，a1时，函数f(x)loga(x1)1的图像恒过定点A，若点A在直线mxyn0上，则4m2n的最小值是_解析：A(2,1)，故 2mn1.4m2n2 4m2n2 22mn2 2.当且仅当 4m2n，即 2mn，即 n12，m14时取等号4m2n 的最小值是 2 2.答案：2 2本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
