1、第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 第1课时 基本不等式 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解基本不等式的证明过程(重点)2能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小.1.通过不等式的证明，培养逻辑推理素养2借助基本不等式形式求简单的最值问题，提升数学运算素养.情 景 导 学 探 新 知 如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标它依据我国著名数学家赵爽研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一个风车 问题：依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗？提示：由图可知 a2b2(ab)22ab；a2b22ab，当且仅当 ab 时，取“”基本
2、不等式(1)有关概念：当 a，b 均为正数时，把ab2 叫做正数 a，b 的算术平均数，把 ab叫做正数 a，b 的几何平均数(2)不等式：当 a，b 是任意正实数时，a，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即 abab2，当且仅当时，等号成立ab1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)对任意 a，bR，a2b22ab，ab2 ab均成立()(2)若 a0，则 a1a2a1a2.()(3)若 a0，b0，则 abab22.()提示(1)任意 a，bR，有 a2b22ab 成立，当 a，b 都为正数时，不等式 ab2 ab成立(2)只有当 a0 时，根据基本不等式，才有不等式 a1a2
3、a1a2 成立(3)因为 abab2，所以 abab22.答案(1)(2)(3)2不等式 a212a 中等号成立的条件是()Aa1 Ba1Ca1Da0B 当 a212a，即(a1)20，即 a1 时，“”成立3已知 0a1,0b1，且 ab，下列各式中最大的是()Aa2b2B2 abC2abDabD 0a1,0b1，a2a，b2b，a2b2ab，又 a2b22ab(ab)，2aba2b2ab.又ab2 ab(ab)，ab 最大4当 a，bR 时，下列不等关系成立的是_(填序号)ab2 ab；ab2 ab；a2b22ab；a2b22ab.根据a2b22ab，ab2 ab成立的条件判断，知错，只有
4、正确合 作 探 究 释 疑 难 对基本不等式的理解【例 1】给出下面四个推导过程：a，b 为正实数，baab2baab2；aR，a0，4aa24aa4；x，yR，xy0，xyyxxy yx 2xy yx2.其中正确的推导为()A BCDB a，b 为正实数，ba，ab为正实数，符合基本不等式的条件，故的推导正确 aR，a0，不符合基本不等式的条件，4aa24aa4 是错误的 由 xy0，得xy，yx均为负数，但在推导过程中将整体xyyx提出负号后，xy，yx 均变为正数，符合基本不等式的条件，故正确1基本不等式 abab2 (a0，b0)反映了两个正数的和与积之间的关系 2对基本不等式的准确掌
5、握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是 a，b 都是正数(2)“当且仅当”的含义：当 ab 时，abab2的等号成立，即 abab2 ab；仅当 ab 时，ab2 ab的等号成立，即ab2 abab.跟进训练1下列不等式的推导过程正确的是_若 x1，则 x1x2x1x2.若 x0，则 x4xx4x2x4x 4.若 a，bR，则baab2baab2.中忽视了基本不等式等号成立的条件，当 x1x时，即 x1 时，x1x2 等号成立，因为 x1，所以 x1x2，中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件利用基本不等式比较大小【例 2】(1)已知 a，bR，则下列各式中不一定成立的是()A
6、ab2 abB.baab2C.a2b2ab 2 abD 2abab ab(2)已知 a，b，c 是两两不等的实数，则 pa2b2c2 与 qabbcca 的大小关系是_(1)D(2)a2b2c2abbcac(1)由ab2 ab得 ab2 ab，A 成立；baab2baab2，B 成立；a2b2ab 2abab2 ab，C 成立；2abab 2ab2 ab ab，D 不一定成立(2)a，b，c 互不相等，a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac.2(a2b2c2)2(abbcac)即 a2b2c2abbcac.1在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件 2运用基本不等式比较
7、大小时应注意成立的条件，即 ab2 ab成立的条件是 a0，b0，等号成立的条件是 ab；a2b22ab 成立的条件是 a，bR，等号成立的条件是 ab.跟进训练2如果 0ab1，Pab2，Q ab，M ab，那么 P，Q，M 的大小顺序是()APQMBMPQCQMPDMQPB 显然ab2 ab，又因为ab2 ab(由 abab24也就是ab4 1 可得)，所以 abab2 ab.故 MPQ.利用基本不等式证明不等式【例 3】已知 a，b，c 是互不相等的正数，且 abc1，求证：1a1b1c9.思路点拨 看到1a1b1c9，想到将“1”换成“abc”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证
8、明 证明 a，b，cR，且 abc1，1a1b1cabcaabcbabcc 3bacaabcbacbc 3baab caac cbbc 32baab2caac2cbbc 3222 9.当且仅当 abc 时取等号，1a1b1c9.本例条件不变，求证：1a11b11c1 8.证明 a，b，cR，且 abc1，1a1bca 0，1b1acb 0，1c1abc 0，1a11b11c1 bca acb abc 2 bc2 ac2 ababc8，当且仅当 abc 时取等号，1a11b11c1 8.1条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，
9、一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系 2先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法跟进训练3已知 x，y，z 都是正数，求证：(xy)(yz)(zx)8xyz.证明 x，y，z 都是正数，xy2 xy，yz2 yz，zx2 zx，(xy)(yz)(zx)2 xy2 yz2 zx8xyz.当且仅当 xyz 时，等号成立4已知 a1，b0，1a3b1，求证：a2b2 67.证明 由1a3b1，得 b 3aa1(a1)，则 a2ba 6aa1a6a1
10、6a1 a 6a16(a1)6a172 67，当 a1 6a1时，即 a1 6时，取等号.课 堂 小 结 提 素 养 1记牢 2 个不等式(1)a2b22ab；(2)ab2 ab(a，b 都是正数)2掌握 2 个注意点利用基本不等式证明不等式时应关注两点：(1)应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当 a0，b0时，才会有 abab2.对于“当且仅当时，成立”这句话要从两个方面理解：一方面，当 ab 时，ab2 ab；另一方面，当ab2 ab时，也有 ab.(2)应 用 基 本 不 等 式 证 明 不 等 式 的 关 键 在 于 进 行“拼”“凑”“拆”“合”“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构1设 ab0，则下列不等式中一定成立的是()Aab0 B0ab1C.ababC ab0，由基本不等式知 ab0，b0，证明：b2a a2b ab.证明 a0，b0，b2a a2b，a2b b2a，b2a a2b ab.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
