1、十九 圆的一般方程(15 分钟 30 分)1若圆的方程为()x1()x2()y2()y40，则圆心坐标为()A()1，1 B12，1C()1，2 D32，1【解析】选 D.圆的方程可化为x322(y1)2374，所以圆心坐标为32，1.2圆 x2y22x8y130 截直线 axy10 所得的弦长为 2 3，则 a()A43 B34 C 3 D2【解析】选 A.圆的方程可化为()x12()y424，所以圆心坐标为()1，4，由点到直线的距离公式得：d|a41a211，解得 a43.3已知点 P(2，1)在圆 C：x2y2ax2yb0 上，点 P 关于直线 xy10的对称点也在圆 C 上，则圆 C
2、 的圆心坐标为_，半径为_【解析】点 P()2，1关于直线 xy10 的对称点为 P()0，1，将 P()2，1和 P()0，1的坐标代入圆 C 的方程的方程组2ab30，b30，解得b3，a0，所以圆的方程为 x2y22y30，即 x2()y124，所以圆心的坐标为()0，1，半径为 2.答案：()0，1 2 4长度为 6 的线段 AB 的两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，则线段 AB的中点 M 的轨迹方程为_【解析】设 M(x，y)，因为AOB 是直角三角形，所以|OM|12|AB|3 为定值，故 M 的轨迹为以 O 为圆心，3 为半径的圆，故 x2y29 即为所求答案
3、：x2y29 5已知圆 M 的圆心 M(3，4)和三个点 A(1，1)，B(1，0)，C(2，3)，求使 A，B，C 三点一个在圆内，一个在圆上，一个在圆外的圆 M 的一般方程【解析】因为|MA ()13 2()14 2 5，|MB ()13 2()04 2 2 5，|MC ()23 2()34 2 26，所以|MB|MA 0得(2)26245a0，解得a2，圆关于直线 yx2b 对称可知圆心(1，3)在直线 yx2b 上，所以312b，得 b2，故 ab4.4圆 x2y22x2y10 上的点到直线 xy2 的距离最大值是()A2 B1 2 C1 22 D22 2 【解析】选 B.本题考查点到
4、直线的距离由 x2y22x2y10，得(x1)2(y1)21，表示以 M(1，1)为圆心，以 r1 为半径的圆先计算点 M 到直线 xy2 的距离 d|112|1212 2，圆上的点到直线的距离的最大值为点 M 到直线的距离 xy2 再加半径，即 dmaxdr1 2.【误区警示】涉及与圆有关的最值问题一般转到圆心上去圆上的点直线距离的最大值为圆心到直线的距离再加上半径 二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5已知圆 C 经过点(1，0)，且圆心 C 是两直线 x1 与 xy2 的交点，则下列点在圆内的有()A(0，0)B12，
5、12 C(3，1)D(1，1)【解析】选 BD.由x1，xy2，得x1，y1，即所求圆的圆心坐标为(1，1)，又由该圆过点(1，0)，得其半径为 1，圆的方程为(x1)2(y1)21.将选项中 4 个点代入，可得只有 BD 满足小于 1，即 BD 选项中的点在圆内 6如果圆(xa)2(ya)28 上总存在到原点的距离为 2 的点，则实数 a 的值可以是()A2 B0 C1 D3【解析】选 ACD.圆(xa)2(ya)28 的圆心(a，a)到原点的距离为|2 a|，半径r2 2，由圆(xa)2(ya)28上总存在点到原点的距离为 2，得 2 2 2|2 a|2 2 2，所以 1|a|3，解得 1
6、a3 或3a1.三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7已知圆 C：x2y22x2y30，AB 为圆 C 的一条直径，点 A 的坐标为()0，1，则点 B 的坐标为_【解题指南】圆心为直径的中点，可以先求出圆心坐标，再求点 B 的坐标【解析】由 x2y22x2y30 得(x1)2(y1)25，所以圆心 C 的坐标为()1，1，设 B 的坐标为(x0，y0)，又 A 的坐标为(0，1)，由中点坐标公式得x002，y012，解得x02，y03，所以 B 点的坐标为()2，3.答案：(2，3)【补偿训练】在平面直角坐标系内，若曲线 C：x2y22ax4ay5a240 上所有的点均在第四象限内，则
7、实数 a 的取值范围为_【解析】圆 C 的标准方程为(xa)2(y2a)24，所以圆心为(a，2a)，半径 r2，故由题意知a0，|a|2，|2a|2，解得 a2，故实数 a 的取值范围为(，2).答案：(，2)8已知圆 x2y2kx2yk2，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标为_【解析】由 x2y2kx2yk2，得xk22()y1234 k21.所以当34 k20，即 k0 时圆的面积最大，此时圆心坐标为()0，1.答案：(0，1)四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9自圆 C：(x3)2(y4)24 外一点 P(x，y)引该圆的一条切线，切点为 Q，PQ 的长度等于点 P 到原点 O
8、 的距离，求点 P 的轨迹方程【解析】由题意得，圆心 C 的坐标为(3，4)，半径 r2，如图因为|PQ|PO|，且 PQCQ，所以|PO|2r2|PC|2，所以 x2y24(x3)2(y4)2，即 6x8y210，所以点 P 的轨迹方程为 6x8y210.10已知圆 C 的方程为 x2(y4)21，直线 l 的方程为 2xy0，点 P 在直线l 上，过点 P 作圆 C 的切线 PA，PB，切点为 A，B.(1)若APB60，求点 P 的坐标；(2)求证：经过 A，P，C(其中点 C 为圆 C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标【解析】(1)由条件可得圆 C 的圆心坐标为(0，4)，|PC|2，设 P(a，2a)，则a2（2a4）2 2，解得 a2 或 a65，所以点 P 的坐标为(2，4)或65，125.(2)设 P(b，2b)，过点 A，P，C 的圆即是以 PC 为直径的圆，其方程为 x(xb)(y4)(y2b)0，整理得 x2y2bx4y2by8b0，即(x2y24y)b(x2y8)0.由x2y24y0，x2y80，解得x0，y4或x85，y165，所以该圆必经过定点(0，4)和85，165.
