1、第36讲不等式的性质与基本不等式及应用1.了解现实世界与日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.掌握并能运用不等式的性质，掌握比较两个实数大小的一般步骤.3.掌握基本不等式，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.1.若x0,则x+的最小值为.2x2 22.设(0,),0,那么2-的取值范围是()223DA.（0,）B.(-,)C.(0,)D.(-,)566566由题设得02,0 ,所以-0，所以-2-0,bc-ad0,-0(其中a、b、c、d均为实数),用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是()cadaDA.0 B.1 C.2
2、 D.3由ab0,bc-ad0可得出-0,bc-ad0两边同除以ab,得-0.同样由-0,ab0,可得bc-ad0.bc-ad0 bc-ad0-0 0 cadbcadbcaca由ab0.故选D.cadbbcadab4.设a,b是不相等的正数，则下列关系中，不恒成立的是（）CA.|a-b|a|+|b|B.a2+a+1aC.|a-b|+2D.-21a1ab3a 1a2aaC选项|a-b|+2，当a-b1，b1，若a x=b y=3，a+b=2,则+的最大值为（）31x1yCA.2 B.C.1 D.3212由ax+by=3，得x=loga3，y=logb3,+=log3(ab)log3()2=1，故
3、选C.1x1y2ab1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系ab;ab,ab,bc;ab,bba+cb+c,故a+bc(移项法则).推论:ab,cd(同向不等式相加).a-b0a-b0a-b=0baacac-ba+cb+d(4)ab,c0;ab,cb0,cd0 .推论:ab0 .推论:ab0 .3.基本不等式定理1:如果a、bR,那么a2+b2 (当且仅当a=b时取“”号).说明：(1)指出定理适用范围：a、bR;(2)强调取“”号的条件a=b.acbc12131411acbdanbnabnn15 2ab定理2:如果a,b是正数,那么(当且仅当a=b时取“”号).说 明：(1)这 个 定 理 适
4、 用 的 范 围：a,bR+;(2)我们称为a,b的算术平均数，称为a,b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于他们的几何平均数.结论：若x,yR+,x+y=S,xy=P,则:如果P是值，那么当x=y时，S的值最;如果S是值,那么当x=y时,P的值最.求最值的必要条件：一正、二定、三相等.2ab16ab2abab17定19小18定20 大题型一 不等式性质的应用典例精讲典例精讲例1设f(x)=ax 2+bx,且1f(-1)2，2f(1)4，求f(-2)的取值范围.分析分析 因为f(-1)=a-b,f(1)=a+b,而1a-b2,2a+b4.又a+b与a-b中的a,b不是独立的，而是相互制约
5、的，因此，若将f(-2)用a-b与a+b表示，则问题得解.(方法一)设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数)，则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b,m+n=4 m=3m-n=2，n=1,所以f(-2)=3f(-1)+f(1).因为1f(-1)2,2f(1)，所以53f(-1)+f(1)0，故5f(-2)10.于是得(方法二)a-b=f(-1)a=f(1)+f(-1)a+b=f(1),b=f(1)-f(-1),所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).以下同方法一.由得1212点评点评 严格依据不等式的基本性质和运算法则，
6、是正确解答此类题目的保证，若先将参数a,b的范围求出，而后再求f(-2)的范围，这样操作是错误的，因为解题过程没有忠实题目所给条件，即变形不等价，由所求的参数a,b的范围并不能得到已知条件所给的f(-1)及f(1)的范围，这样，已经改变了题目的条件，当然，所求的结果就不是实际的结果.因此，在解题的过程中，务必尽可能保持变形的等价性，以免发生错误.题型二 利用作差法、作商法比较大小例2(1)设a0,b0且ab,试比较aabb与abba的大小.(2)已知函数f(x)=x2+ax+b，p+q=1,且p、q都是正数，试比较pf(x)+qf(y)与f(px+qy)的大小.(1)根据同底数幂的运算法则，可
7、考虑用比商法.=aa-bbb-a=()a-b.当ab0时，1,a-b0,则()a-b1,于是aabbabba；当ba0时，01,a-b1,于是aabbabba.综上所述，对于不相等的正数a、b,都有aabbabba.abbaa ba bbaabababab(2)作差pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b=p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy=pq(x-y)2=p(1-p)(x-y)2,所以，当x=y时，p(1-p)(x-y)2=0,得pf(x)+qf(y)=f(px+qy);当xy时，(x-y)20
8、,所以pf(x)+qf(y)f(px+qy).综上所述，当x=y时，pf(x)+qf(y)=f(px+qy).当xy时，pf(x)+qf(y)f(px+qy).比较大小，常用作差（商）比较法.点评点评题型三 利用基本不等式求最值例3 设x0,y0，x2+=1，求x的最大值.22y21y(方法一)因为x0，y0，x2+=1,所以x=.当且仅当x=,y=（即x2=）时,x 取得最大值.22y21y22(1)xy22 122yx221222yx2212222yx 3 243222212y21y3 24x=cosy=sin(0 ),则x=cos=.当2cos2=1+2sin2,即=时,x=,y=时，x
9、取得最大值.22(方法二)令21y21 2sin 2212cos(1 sin)2122212cos(1 2sin)223 243 243222621y方法提炼方法提炼在不等式的性质中，要特别注意下面三点：1.不等式的传递性：若ab,bc,则ac,这是放缩法的依据.在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明ac,选择中间量b,在证出ab,cb后，就误认为能得到ac.2.同向不等式可相加但不能相减,即由ab,cd,可以得出a+cb+d,但不能得出a-cb-d.3.不等式两边同时乘以一个数或式时，只有保证该数或式为正，才能得到同向的不等式，若不能保证所乘之数或式为正，则不等式两边同时乘以该数或式后不能确定不等式的方向；不等式两边同偶次乘方时，也要特别注意不等式的两边必须是正.在基本不等式的应用中，要特别注意下面结论：若x,yR+,x+y=S,xy=P,则：(1)如果P是定值,那么当x=y时,S的值最小.(2)如果S是定值，那么当x=y时，P的值最大.求最值的必要条件：一正、二定、三相等.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.(3)当使用均值定理,等号不能成立，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.课后再做好复习巩固.谢谢！再见！奎屯王新敞新疆2007新疆奎屯特级教师http:/王新敞源头学子小屋
