1、3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法学 习 目 标核 心 素 养1理解复数的乘除运算法则.2会进行复数的乘除运算(重点)3掌握虚数单位“i”的幂值的周期性，并能应用周期性进行化简与计算(难点)4掌握共轭复数的运算性质(易混点)通过复数的乘法、除法运算法则及运算性质的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理素养.一、复数的乘法及其运算律1定义(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.2运算律对任意z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z33两个共轭复数的乘积等于这个复数(或其共轭复数)模的平方4i4n1
2、i；i4n21；i4n3i；i4n1二、复数的除法法则1已知zabi，如果存在一个复数z，使zz1，则z叫做z的倒数，记作，则i且.2复数的除法法则设z1abi，z2cdi(cdi0)，i.1复数(i为虚数单位)的共轭复数是()A1iB1iC1i D1i解析1i，的共轭复数为1i，故选B.答案B2已知复数z1(1i)(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，则z2_.解析z1(1i)2i.设z2a2i，aR，则z1z2(2i)(a2i)(2a2)(4a)i，因为z1z2R，所以a4.所以z242i.答案42i3若复数z满足iz12i，其中i是虚数单位，则z的实部为_解析iz12i
3、，z2i，故z的实部为2.答案2复数代数形式的乘法运算【例1】(1)已知a，bR，i是虚数单位若ai与2bi互为共轭复数，则(abi)2()A54iB54iC34i D34i(2)复数z(32i)i的共轭复数等于()A23iB23iC23i D23i(3)i是虚数单位，复数(3i)(12i)_.解析(1)由题意知ai2bi，a2，b1，(abi)2(2i)234i.(2)z(32i)i3i2i223i.23i.故选C.(3)(3i)(12i)36ii2i255i.答案(1)D(2)C(3)55i1两个复数代数形式乘法的一般方法首先按多项式的乘法展开；再将i2换成1；然后再进行复数的加、减运算，
4、化简为复数的代数形式2常用公式(1)(abi)2a22abib2(a，bR)；(2)(abi)(abi)a2b2(a，bR)；(3)(1i)22i.1若|z1|5，z234i，且z1z2是纯虚数，则z1_.解析设z1abi(a，bR)，则|z1|5，即a2b225，z1z2(abi)(34i)(3a4b)(3b4a)i.z1z2是纯虚数解得或z143i或z143i.答案43i或43i复数代数形式的除法运算【例2】()A1i B1iC1i D1i(2)i是虚数单位，复数()A1i B1iC.i Di解析(1)法一：1i.故选D.法二：2(1i)i2(1i)(1i)(2)1i，故选A.答案(1)D
5、(2)A1两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式2常用公式(1)i；(2)i；(3)i.2(1)满足i(i为虚数单位)的复数z()A.iB.iCi Di(2)若复数z满足z(1i)2i(i为虚数单位)，则|z|()A1B2C. D.解析(1)i，zizi，iz(i1)zi.(2)z(1i)2i，z1i，|z|.答案(1)B(2)Cin的周期性及应用探究问题1i5与i是否相等？提示：i5i4ii，相等2ii2i3i4的值为多少？提示：ii2i3i40.【例3】计算i1i2i
6、3i2 020.思路探究本题中需求多个in和的值，求解时可考虑利用等比数列求和公式及in的周期性化简；也可利用inin1in2in30(nN)化简解法一：原式0.法二：i1i2i3i40，inin1in2in30(nN)，i1i2i3i2 020(i1i2i3i4)(i5i6i7i8)(i2 017i2 018i2 019i2 020)0.虚数单位i的周期性(1)i4n1i，i4n21，i4n3i，i4n1(nN)(2)inin1in2in30(nN)3计算：.解i，原式ii2i3i10i12310i55i3i.1已知i是虚数单位，则(1i)(2i)()A3iB13iC33i D1i解析按照复
7、数乘法运算法则，直接运算即可(1i)(2i)13i.答案B2在复平面内，复数z(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析z1i的共轭复数为1i，对应的点为(1，1)，在第四象限答案D3若abi(i为虚数单位，a，bR)，则ab_.解析因为1i，所以1iabi，所以a1，b1，所以ab2.答案24设z1a2i，z234i，且为纯虚数，则实数a的值为_解析设bi(bR且b0)，所以z1biz2，即a2ibi(34i)4b3bi，所以所以a.答案5计算：(1)(1i)(1i)；(2)；(3)(2i)2.解(1)法一：(1i)(1i)(1i)(1i)iii21i.法二：原式(1i)(1i)(1i2)21i.(2)i.(3)(2i)2(2i)(2i)44ii234i.
