1、专题3 和差化积-因式分解的方法(1) 阅读与思考 提公因式、公式法、十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法,通常根据多项式的项数来选择分解的方法,有公因式的先提公因式,分解必须进行到每一个因式都不能再分解为止 一些复杂的因式分解问题经常用到以下重要方法: 1换元法: 对一些数、式结构比较复杂的多项式,可把多项式中的某些部分看成一个整体,用一个新字母代替,从而可达到化繁为简的目的从换元的形式看,换元时有常值代换、式的代换;从引元的个数看,换元时有一元代换、二元代换等 2拆、添项法: 拆项即把代数式中的某项拆成两项的和或差,添项即把代数式添上两个符号相反的项,因式分解中进行拆项与添项的目的是
2、相同的,即经过拆项或添项后,多项式能恰当分组,从而可以运用分组分解法分解例题与求解 【例l】分解因式_(浙江省中考题) 解题思路:把看成一个整体,用一个新字母代换,从而简化式子的结构 【例2】观察下列因式分解的过程:(1);原式;(2)原式第(1)题分组后能直接提公因式,第(2)题分组后能直接运用公式仿照上述分解因式的方法,把下列各式分解因式:(1);(西宁市中考试题)(2)(临沂市中考试题)解题思路:通过分组,使每一组分组因式后,整体能再分解,恰当分组是关键,经历“实验失败再试验再失败直至成功”的过程 【例3】分解因式(1);(重庆市竞赛题)(2);(“缙云杯”邀请赛试题)(3)(“五羊杯”
3、竞赛试题) 解题思路:(1)式中系数较大,直接分解有困难,不妨把数字用字母来表示;(2)式中、反复出现,可用两个新字母代替,突出式子的特点;(3)式中前两项与后一项有密切联系 【例4】把多项式因式分解后,正确的结果是( ) A B C D(“希望杯”邀请赛试题)解题思路:直接分组分解困难,可考虑先将常数项拆成几个数的代数和,比如341 【例5】分解因式:(1);(扬州市竞赛题)(2);(请给出多种解法)(“祖冲之杯”邀请赛试题)(3) 解题思路:按次数添上相应的项或按系数拆项法分解因式的基本策略 【例6】分解因式: (河南省竞赛试题) 解题思路:拆哪一项?怎样拆?可有不同的解法能力训练A级1分
4、解因式:(1)_(泰安市中考试题)(2)_(威海市中考试题)2分解因式:(1)_;(2)_3分解因式:_4多项式与多项式的公因式是_5在1100之间若存在整数,使能分解为两个整系数一次式的乘积,这样的有_个6将多项式分解因式的积,结果是( ) A B C D7下列各式分解因式后,可表示为一次因式乘积的是( ) A B C D(“希望杯”邀请赛试题)8把分解因式,其中一个因式是( ) A B C D9多项式有因式( ) A B C D(“五羊杯”竞赛试题)10已知二次三项式可分解成两个整系数的一次因式的积,那么()A一定是奇数 B一定是偶数 C可为奇数也可为偶数 D一定是负数11分解因式:(1)
5、;(2);(3); (“祖冲之杯”邀请赛试题)(4); (重庆市竞赛试题)(5);(6)12先化简,在求值:,其中 ,B级1分解因式:_ (重庆市竞赛试题)2分解因式:_(“五羊杯”竞赛试题)3分解因式:_(“希望杯”邀请赛试题)4分解因式:_(“五羊杯”竞赛试题)5将因式分解得() A B C D(陕西省竞赛试题)6已知是ABC三边的长,且满足,则此三角形是( ) A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D不能确定7的因式是( ) A B C D E. (美国犹他州竞赛试题)8分解因式:(1); (湖北省黄冈市竞赛试题)(2); (江苏省竞赛试题)(3); (陕西省中考试题)(4); (“
6、祖冲之杯”邀请赛试题)(5); (“五羊杯”竞赛试题)(6) (太原市竞赛试题)9已知乘法公式:利用或者不利用上述公式,分解因式: (“祖冲之杯”邀请赛试题)10分解因式:(1);(2);(3)11对方程,求出至少一组正整数解(莫斯科市竞赛试题)12已知在ABC中,求证:(天津市竞赛试题)专题03 和差化积-因式分解的方法(1)例1. 例2. (1) 原式 (2) 原式例3.(1) (2) (3) 例4. D例5.(1) 提示: 原式(2) 提示: 原式(3) 提示: 原式例6. 解法1 原式 解法2 原式 A级1. (1) (2) 2. (1) (2) 3. 4. 5. 96. D7. A8. D9. A10. A11. (1) 提示: 令 (2) (3) (4) 提示: 原式 (5) 提示: 原式 (6) 12. 原式 当原式B 组1. (1) (2) 3. 5. D6. B7. A 提示: 原式8. (1) (2) 提示: 令 (3) (4) 提示: 原式 (5) (6) 9. 由公式有 10. (1) (2) (3) 11. 有或 解得 或12. 是三角形三边长, 由条件只有,故