1、1.1归纳推理课后训练案巩固提升一、A组1.已知数列an的前n项和Sn=n2an(n2),a1=1,猜想an等于()A.2(n+1)2B.2n(n+1)C.22n-1D.22n-1解析:由a1=1,Sn=n2an,得a2=13,a3=16,a4=110,猜想an=2n(n+1),故应选B.答案:B2.观察图中的图形规律,其右下角的空格内应画上的合适图形为()解析:观察图形可知每行都是同样的三个图形,且有两个是涂黑,因此是合适的图形.答案:A3.定义A*B,B*C,C*D,D*B依次对应下列4个图形:则下列4个图形中,可以表示A*D,A*C的分别是()A.图1,图2B.图1,图3C.图2,图4D
2、.图1,图4解析:由可归纳得出:符号“*”表示图形的叠加,字母A代表竖线,字母B代表大矩形,字母C代表横线,字母D代表小矩形.故A*D是图2,A*C是图4.答案:C4.如图是元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形,照此规律闪烁,下一个呈现出来的图形是()答案:A5.观察下列各式:9-1=8,16-4=12,25-9=16,36-16=20,.这些等式反映了自然数间的某种规律,设n表示正整数,则可用关于n的等式表示为.解析:由已知,得32-12=24,42-22=34,52-32=44,62-42=54,猜想(n+2)2-n2=4(n+1).答案:(n+2)2-n2=4n+46.观察
3、下列等式(1+1)=21(2+1)(2+2)=2213(3+1)(3+2)(3+3)=23135照此规律,第n个等式可为.解析:等号左边为n项的乘积;等号右边为两部分:一部分为2n,另一部分为n个连续奇数的乘积.故第n个等式为(n+1)(n+2)(n+3)(n+n)=2n135(2n-1).答案:(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1)7.已知数列an对一切的nN+,an0,设前n项和为Sn,且2Sn=an+1,则通过前几项猜想出数列的通项公式为an=.解析:因为2Sn=an+1,所以2S1=a1+1,即2a1=a1+1,所以a1=1.又2S2=a2+1,所以2a1+a2=a2+
4、1.所以a22-2a2-3=0.因为对一切的nN+,an0,所以a2=3.同理可求得a3=5,a4=7,猜测出an=2n-1(nN+).答案:2n-18.经计算发现下列正确不等式:2+18210,4.5+15.5210,3+2+17-20,b0)9.导学号18334024观察下列各式:sin230+cos260+sin 30cos 60=34;sin240+cos270+sin 40cos 70=34;sin215+cos245+sin 15cos 45=34.分析以上各式的共同特点,根据其特点写出反映一般规律的等式,并对等式是否正确加以证明.解:反映一般规律的等式是:sin2+cos2(+3
5、0)+sin cos(+30)=34.(表达形式不唯一)该等式是正确的,证明如下:sin2+cos2(+30)+sin cos(+30)=sin2+(cos cos 30-sin sin 30)2+sin (cos cos 30-sin sin 30)=sin2+32cos-12sin2+32sin cos -12sin2=sin2+34cos2+14sin2-32sin cos +32sin cos -12sin2=34(sin2+cos2)=34.10.由下列各式:112;1+12+131;1+12+13+14+15+16+1732;1+12+13+14+1152.请你归纳出一般结论.解:
6、将题中所给四个式子变形121-112;1+12+122-122;1+12+13+14+15+16+123-132;1+12+13+14+124-142.归纳概括,猜测得1+12+13+12n-1n2.二、B组1.观察下列各式:1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,可以得出的一般结论是()A.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=n2B.n+(n+1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2C.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=n2D.n+(n+1)+(n+2)+(3n-1)=(2n-1)2解析:观察各式很容易发现规律:n+(n+
7、1)+(n+2)+(3n-2)=(2n-1)2.答案:B2.观察下列数表规律则数2 017的箭头方向是()答案:C3.图(1)是一个水平摆放的小正方体木块,图(2)、图(3)由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的规律继续逐个叠放下去,则在第七个叠放的图形中小正方体木块数应是()A.25B.66C.91D.120解析:图(1)有1个小正方体木块,图(2)有(2+14)个小正方体木块,图(3)有3+(1+2)4个小正方体木块,按照前三个图所反映出来的规律,归纳推理可知,第七个叠放的图形中小正方体木块数应是7+(1+2+3+6)4=91.故选C.答案:C4.观察(x2)=2x,(x4)=4x3,(
8、cos x)=-sin x,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)=()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)解析:由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数,g(-x)=-g(x),选D.答案:D5.观察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3+4)2,根据上述规律,第四个等式为.解析:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,所以13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2.答案:13+23+33+43+53=(
9、1+2+3+4+5)26.设an是首项为1的正数项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1an=0(nN+),经归纳猜想可得这个数列的通项公式为.解析:由首项为1,得a1=1;当n=1时,由2a22-1+a2=0,得a2=12;当n=2时,由3a32-2122+12a3=0,即6a32+a3-1=0,解得a3=13;归纳猜想该数列的通项公式为an=1n(nN+).答案:an=1n(nN+)7.导学号18334025根据图中线段的排列规则,试猜想第8个图形中线段的条数为.解析:分别求出前4个图形中线段的数目,发现规律,得出猜想,图形到中线段的条数分别为1,5,13,29.因为1=22-3
10、,5=23-3,13=24-3,29=25-3,所以猜想第8个图形中线段的条数为28+1-3=509.答案:5098.已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nN+).(1)求a2,a3,a4,a5;(2)归纳猜想通项公式an.解:(1)当n=1时,a2=2a1+1=21+1=3,当n=2时,a3=2a2+1=23+1=7,同理可得a4=15,a5=31.(2)由于a1=1=21-1,a2=3=22-1,a3=7=23-1,a4=15=24-1,a5=31=25-1,所以可归纳猜想an=2n-1(nN+).9.已知数列an的前n项和为Sn,a1=-23,且Sn+1Sn+2=an(n2,nN+),计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式.解:当n2时,an=Sn-Sn-1,Sn+1Sn+2=Sn-Sn-1.1Sn+Sn-1+2=0.当n=1时,S1=a1=-23;当n=2时,1S2=-2-S1=-43,S2=-34;当n=3时,1S3=-2-S2=-54,S3=-45;当n=4时,1S4=-2-S3=-65,S4=-56.猜想:Sn=-n+1n+2(nN+).
