1、第2课时等差数列的性质及应用课时过关能力提升1.在等差数列an中,已知a4+a8=16,则a2+a10等于 ()A.12B.16C.20D.24解析:由等差数列的性质知,a2+a10=a4+a8=16,故选B.答案:B2.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是()A.2B.3C.6D.9解析:由已知可得m+2n=8,2m+n=10,3(m+n)=18,m+n=6.m和n的等差中项是3.故选B.答案:B3.在3与27之间插入7个数,使这9个数成等差数列,则插入的这7个数中的第4个数为()A.18B.9C.12D.15答案:D4.在等差数列an中,a1+3a8+a
2、15=120,则3a9-a11的值为()A.6B.12C.24D.48解析:a1+3a8+a15=a1+a15+3a8=5a8=120,a8=24.又3a9-a11=2a9+a9-a11=2a9-2d=2(a9-d)=2a8=224=48.答案:D5.已知中位数为1 011的一组数构成等差数列,其末项为2 019,则该数列的首项为.解析:a1+an=21 011=a1+2 019,a1=2 022-2 019=3.答案:36.已知一个等差数列由三个数构成,这三个数之和为9,平方和为35,则这三个数构成的等差数列为.解析:设这三个数分别为a-d,a,a+d,则a-d+a+a+d=3a=9,即a=
3、3.(a-d)2+a2+(a+d)2=35,d=2.所求数列为1,3,5或5,3,1.答案:1,3,5或5,3,17.已知关于x的方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的4个根组成一个首项为14的等差数列,则|m-n|等于_.解析:设方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的4个根分别为x1,x2,x3,x4,则由题意可知x1+x2=x3+x4=2.由等差数列的性质知,若x1为数列的第1项,则x2为第4项,由此可得数列为14,34,54,74.由根与系数的关系可知,m=716,n=1516.|m-n|=12.答案:128.若xy,两个数列x,a1,a2,a3,y和x,b1,b2,b3
4、,b4,y都是等差数列,则a2-a1b3-b2=_.解析:设两个等差数列的公差分别为d1,d2,由已知得y=x+4d1,y=x+5d2,即4d1=y-x,5d2=y-x, 解得d1d2=54,即a2-a1b3-b2=d1d2=54.答案:549.若有穷数列a1,a2,am(m为正整数)满足条件:a1=am,a2=am-1,am=a1,则称其为“对称”数列.例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列.已知在21项的“对称”数列cn中,c11,c12,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,则c2=.解析:因为c11,c12,c21是以1为首项,2为公差的等差数列,所以c
5、20=c11+9d=1+92=19.因为数列cn为21项的“对称”数列,所以c2=c20=19.答案:1910.已知1a,1b,1c成等差数列,并且a+c,a-c,a+c-2b均为正数,求证:lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)也成等差数列.分析转化为证明2lg(a-c)=lg(a+c)+lg(a+c-2b).证明1a,1b,1c成等差数列,2b=1a+1c, 2ac=ab+bc.-2ac=2ac-2b(a+c),-2ac+a2+c2=2ac-2b(a+c)+a2+c2,(a-c)2=(a+c)(a+c-2b).a-c,a+c,a+c-2b都是正数,2lg(a-c)=lg(a+
6、c)+lg(a+c-2b).lg(a+c),lg(a-c),lg(a+c-2b)也成等差数列.11.已知函数f(x)=3xx+3,数列xn的通项公式由xn=f(xn-1)(n2,nN+)确定.(1)求证:1xn是等差数列;(2)当x1=12时,求x100.(1)证明xn=f(xn-1)=3xn-1xn-1+3(n2,nN+),1xn=xn-1+33xn-1=13+1xn-1. 1xn-1xn-1=13(n2,nN+).1xn是公差为13的等差数列.(2)解x1=12,1xn=1x1+(n-1)13,1x100=2+(100-1)13=35, x100=135.12.甲、乙两人连续6年对某县农村
7、养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图.甲调查表明:从第1年起平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明:养鸡场个数由第1年30个减少到第6年10个.根据提供的信息说明.(1)第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数.(2)到第6年这个县的养鸡规模比第1年是扩大了还是缩小了?请说明理由.(3)哪一年的规模最大?请说明理由.解由题图可知,从第1年到第6年平均每个养鸡场出产鸡的只数成等差数列,记为an,公差为d1,且a1=1,a6=2;从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列,记为bn,公差为d2,且b1=30,b6=10;从第1年到第6年全县出产鸡的总只数记
8、为数列cn,则cn=anbn.(1)由a1=1,a6=2,得a1=1,a1+5d1=2,a1=1,d1=0.2,a2=1.2.由b1=30,b6=10,得b1=30,b1+5d2=10,b1=30,d2=-4, b2=26.c2=a2b2=1.226=31.2.故第2年养鸡场的个数为26,全县出产鸡的总只数是31.2万.(2)缩小了.理由如下:c6=a6b6=210=20c1=a1b1=30,故到第6年这个县的养鸡规模比第1年缩小了.(3)第2年的规模最大.理由如下:an=1+(n-1)0.2=0.2n+0.8(1n6,nN+),bn=30+(n-1)(-4)=-4n+34(1n6,nN+),cn=anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34)=-0.8n2+3.6n+27.2(1n6,nN+).其图像的对称轴为直线n=94,当n=2时,cn最大.故第2年的规模最大.
