1、 重点难点 重点：掌握空间向量加、减、数乘、数量积的运算和运算律 掌握共面、共线向量定理和空间向量分解定理 难点：共面向量定理与空间向量基本定理的理解与应用 知识归纳 1空间向量及其加减与数乘运算(1)在空间中，具有大小和方向的量叫做向量同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量(2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量对应运算的推广，平面向量加减及数乘的所有运算律都满足 2共线向量与共面向量(1)如果空间向量的基线，则这些向量叫做共线向量或平行向量，规定零向量与任何一个向量共线(2)平行于同一平面的向量叫做共面向量空间任意两个向量总是共面的，三个不共面向量的和等于以这三个向量为邻边
2、的平行六面体的对角线所表示的向量(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b0)，ab的充要条件是.互相平行或重合存在惟一实数，使ab(4)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x、y)，使p.推论：如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式OP OA ta，其中向量a叫做直线l的方向向量推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在惟一的有序实数对(x、y)，使MP xMA yMB.xayb 3空间向量分解定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量
3、p存在惟一的有序实数组x、y、z，使pxaybzc.其中a，b，c叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在惟一的有序实数组x、y、z使 OP x OA yOB zOC.(2)空间向量a、b的数量积的定义，性质及运算律与平面向量相同 5空间向量的直角坐标运算(1)空间向量的直角坐标 设i，j，k是单位正交基底，对于空间任一向量a，由空间向量的基本定理，存在惟一的有序实数组(a1，a2，a3)，使aa1ia2ja3k.有序实数组(a1，a2，a3)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记为a(a1，a2，a3)4空间向量的数量积(1
4、)已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 OAa，OB b，则AOB叫做a与b的夹角，记作a，b对于空间任一点A，对应一个向量OA，于是存在惟一的有序实数组x、y、z，使 OA xiyjzk，即点A的坐标为(x，y，z)(2)向量的直角坐标运算 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 ab(a1b1，a2b2，a3b3)；ab(a1b1，a2b2，a3b3)；a(a1，a2，a3)；aba1b1a2b2a3b3；ababa1b1，a2b2，a3b3(R)或 a1b1a2b2a3b3(b1，b2，b3均不为0)abab0a1b1a2b2a3b30.设A(x1，y1，z1)，B
5、(x2，y2，z2)，则ABOB OA(x2x1，y2y1，z2z1)；其中dA，B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式(2)夹角和距离公式设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则|a|aa a12a22a32；cos ab|a|b|a1b1a2b2a3b3a12a22a32 b12b22b32.在空间直角坐标系中，已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则dA，B|AB|x2x12y2y12z2z12.误区警示 1空间向量的知识和内容是在平面向量知识的基础上产生和推广的，因此，既要会类比平面向量的知识与方法来学习空间向量，又要注意其区别 2零向量是一个特
6、殊向量，在解决问题时要特别注意零向量，避免因对零向量的忽视致误 3空间两向量平行与空间两直线平行是不同的，直线平行是不允许重合的，而两向量平行，它们的基线可以平行也可以重合 4当p、a、b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是判断p、a、b的基线共面的条件，用于判定时，还需证明其中一条直线上有一点在另外两直线所确定的平面内 5特别注意向量的数量积运算与实数的积的区别(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定(2)在实数中，若a0，且ab0，则b0；但是在数量积中，若a0，且ab0，不能推出b0，因为其中cos有可能为0，即两向量垂直时ab0.(3)已知实数a、b、c(
7、b0)，则abbcac，在向量中abbc并不一定有ac.(4)在实数中，有(ab)ca(bc)，但是在向量中一般(ab)ca(bc)(5)a、b同向时，ab|a|b|；a与b反向时，ab|a|b|.一、如何用空间向量解决立体几何问题 1思考方向：(1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系？(4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论？2空间问题如何转化为向
8、量问题(1)平行问题向量共线，注意重合；(2)垂直问题向量的数量积为零，注意零向量；(3)距离问题向量的模；(4)求角问题向量的夹角，注意角范围的统一 3向量的分解与组合是用向量法解决立体几何问题中经常遇到的问题，确定合适的基向量或建立恰当的空间直角坐标系是关键二、平行、共线、共面问题利用向量共线可以解决两直线平行的问题，也可以解决三点共线的问题，解题时表述一定要完整准确；利用空间向量基本定理判断四点共面的问题，用 OP x OAyOB zOC 时，关键证明xyz1.例1 如图，空间四边形OABC中，OA a，OB b，OC c，点M在OA上，且OM2MA，N为BC中点，则MN 等于()A.1
9、2a23b12cB23a12b12cC.12a12b23cD.23a23b12c 答案：B分析：OM2MA，OM 可以用 OA 表示，N为BC的中点，ON 可以用OB 与OC 表示，向量MN 可以用ON 与OM 表示，因此MN 可以用a、b、c表示解析：MN ON OM 12(OB OC)23OA12(bc)23a23a12b12c.故选B.已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，M在线段PC上，N在线段PD上，且PM2MC，PNND，若MN xAByAD zAP，则xyz的值为()A1 B13C23D43 答案：C解析：MN PNPM 12PD 23PC12(AD AP)23(
10、PAAC)12AD 12AP23AP23(ABAD)23AB16AD 16AP，xyz23161623，故选C.例2 已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM 13(OA OB OC)(1)判断MA、MB、MC 三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内分析：(1)判断三向量平面，即寻找实数x、y，使 MAxMB yMC，为此将条件式变形产生MA、MB、MC 即可；(2)判断点M在平面ABC内，即证四点A、B、C、M共面，由(1)立得解析：(1)由已知OA OB OC 3OM，OA OM(OM OB)(OM OC)，即MA BM CM MB MC，MA，MB，
11、MC 共面(2)由(1)知，MA，MB，MC 共面且过同一点M，四点M、A、B、C共面，从而点M在平面ABC内 点评：应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面方法的区别与联系三点P，A，B共线空间四点P，A，B，C共面PAPBPCxPAyPB对空间任一点O，OP xOA tAB对空间任一点O，OP OC xPAyPB对任意任一点O，OP xOA yOB 且xy1对空间任一点O，OP xOAyOB zOC，且xyz1如图，已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，若 PA x PO y PQ PD.则xy_.答案：0解
12、析：PAPD DA OA ODOC OD(OC OD)2OQ 2(PQ PO)2PO 2PQ，PAxPO yPQ PD，PAPD xPO yPQ2PO 2PQ xPO yPQPQ 与PO 不共线，x2，y2，xy0.例3 如图所示，在四棱锥MABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AM的长为b，且AM和AB，AD的夹角都等于60，N是CM的中点(1)以AB，AD，AM 为基向量表示出向量CM，并求CM的长；(2)求BN的长解析：(1)CM AM ACAM(ABAD)AM ABAD，|CM|2(AM ABAD)2AM 2AB 2AD 22AM AB2AM AD 2ABADb2a2a22b
13、acos602bacos602a2cos902a22abb2.CM|CM|2a22abb2.(2)BNBCCN BC12(AM ABAD)12(AM ABAD)，|BN|214(AM 2AB 2AD 2AM AB 2AM AD 2ABAD)14(2a2b2)BN|BN|12 2a2b2.如图，已知空间四边形OABC中，M为BC中点，N为AC中点，P为OA中点，Q为OB中点，若ABOC，求证PMQN.分析：要证PMQN，只须证明 PM QN，只须选取基向量，将PM 与QN 用基向量线性表示后验证PM QN0即可证明：OM 12(OB OC)，ON 12(OA OC)PM PO OM 12(AO
14、OB OC)12(OB OA OC)12(ABOC)QN QO ON 12(BO OA OC)12(OA OB OC)12(BAOC)12(OC AB)PM QN 12(ABOC)12(OC AB)14(OC2 AB2)14(|OC|2|AB|2)由ABOC得|AB|OC|.PM QN 0，即PM QN，PMQN.例4 已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1，5)(1)求以AB、AC为边的平行四边形的面积；(2)若|a|3，且a分别与AB，AC 垂直，求向量a的坐标分析：(1)欲求以AB、AC 为边的平行四边形的面积，由正弦定理，只要求出sinBAC，为此只须求出cosAB
15、，AC(2)设出a的坐标，由条件可列出方程组求解解析：(1)由题意可得：AB(2，1,3)，AC(1，3,2)，cosAB，AC ABAC|AB|AC|23614 14 71412，sinAB，AC 32，以AB、AC为边的平行四边形的面积S212|AB|AC|sinAB，AC14 32 7 3.(2)设a(x，y，z)，由题意得x2y2z232xy3z0 x3y2z0，解得x1y1z1，或x1y1z1，a(1,1,1)或a(1，1，1)如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AEBFx，其中0 xa，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)
16、写出点E、F的坐标；(2)求证：A1F C1E；(3)若A1、E、F、C1四点共面，求证：A1F 12A1C1 A1E.解析：(1)正方体棱长为a，AEBFx，E(a，x,0)，F(ax，a,0)(2)A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，A1F(x，a，a)，C1E(a，xa，a)，A1F C1E axa(xa)a20，A1F C1E.(3)A1、E、F、C1四点共面，A1F 与A1E，A1C1 共面，存在实数，使A1F A1E A1C1，A1C1(a，a,0)，A1E(0，x，a)，A1E A1C1(0，x，a)(a，a，0)(a，xa，a)，xaaxaaa，112，A1F 12A1C1
17、 A1E.一、选择题 1已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k值是()答案 DA1 B.15 C.35 D.75 解析 kabk(1,1,0)(1,0,2)(k1，k,2)，2ab2(1,1,0)(1,0,2)(3,2，2)，两向量垂直，3(k1)2k220，k75.2a(cos，1，sin)，b(sin，1，cos)，则ab与ab的夹角为()A0B30 C60D90 答案 D解析|a|2，|b|2，(ab)(ab)|a|2|b|20，(ab)(ab)二、填空题 3若a(3x，5,4)与b(x,2x，2)之间夹角为钝角，则x的取值范围为_答案 23，4解析
18、a与b的夹角为钝角，ab0，3x210 x80，23x4，又当a与b方向相反时，ab0，存在0，使ab，(3x，5,4)(x,2x，2)，3xx52x42，此方程组无解，这样的不存在，综上知23x4.三、解答题 4设e1、e2、e3是三个不共面向量，试问向量a3e12e2e3，be1e23e3，c2e1e24e3是否共面？请说明理由 解析 设c1a2b，则312221211324115，275.即c15a75b.a、b、c共面 1如图，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PAADCD2AB2，M为PC的中点(1)求证：BM平面PAD；(2)在侧面PAD内找一点N，使MN平
19、面PBD，并求直线PC与平面PBD所成角的正弦值 四边形ABME为平行四边形，BMEA，又BM平面PAD，EA平面PAD，BM平面PAD.(2)以A为原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，M(1,1,1)，E(0,1,1)假设存在满足题意的点，则在平面PAD内，设N(0，y，z)，解析(1)M是PC的中点，取PD的中点E，连接EM、EA，则ME綊12CD，又AB綊12CD，MN(1，y1，z1)，PB(1,0，2)，DB(1，2，0)由MN PB得，MN PB12z20，z1
20、2.由MN DB 得，MN DB 12y20，y12，N 0，12，12，即N是AE的中点，此时MN平面PBD.设直线PC与平面PBD所成的角为，易得PC(2,2，2)，MN 1，12，12，sin|cosPC，MN|PCMN|PC|MN|23，故直线PC与平面PBD所成角的正弦值为 23.(1)求证：BC1平面AB1D；(2)求二面角A1AB1D的大小；(3)求点C1到平面AB1D的距离2(2010河北邯郸市模考)如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为22a，D是棱A1C1的中点 解析(1)连结A1B与AB1交于E，则E为A1B的中点，D为A1C1的中点，DE为A1
21、BC1的中位线，BC1DE.又DE平面AB1D，BC1平面AB1D，BC1平面AB1D.(2)解法一：过D作DFA1B1于F，由正三棱柱的性质可知，DF平面ABB1A1，连结EF，DE，在正A1B1C1中，B1D 32 A1B1 32 a，由直角三角形AA1D中，AD AA12A1D2 32 a，ADB1D，DEAB1，由三垂线定理的逆定理可得EFAB1.则DEF为二面角A1AB1D的平面角，又DF 34 a，B1FEB1AA1，EFAA1 B1EA1B1EF 34 a，DEF4.故所求二面角A1AB1D的大小为4.解法二：(向量法)建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，12a,0)，B1(0
22、，12a，22 a)，C1(32 a,0，22 a)，A1(0，12a，22 a)，D(34 a，14a，22 a)AB1(0，a，22 a)，B1D(34 a，34a,0)设n(x，y，z)是平面AB1D的一个法向量，则可得nAB1 0nB1D 0，所以ay 22 az0 34 ax34ay0，即y 22 z0 x 3y0，取y1可得n(3，1，2)又平面ABB1A1的一个法向量n1OC(32 a,0,0)，设n与n1的夹角是，则cos nn1|n|n1|22.又知二面角A1AB1D是锐角，所以二面角A1AB1D的大小是4.(3)解法一：设点C1到平面AB1D的距离为h，因AD2DB12AB12，所以ADDB1，故SADB1 12 32 a 2 38 a2，而SC1B1D12SA1B1C1 38 a2，由VC1AB1DVAC1B1D13SAB1Dh13SC1B1DAA1h 66 a.解法二：由(2)知平面AB1D的一个法向量n(3，1，2)，AC1(32 a，12a，22 a)，d|nAC1|n|a6 66 a.即C1到平面AB1D的距离为 66 a.
