1、 课程标准 一、空间几何体 1利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构 2能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述几何体的三视图所表示的立体模型，会使用材料制作模型，会用斜二测画出它们的直观图 3通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式 4完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)5了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)二、点、直线、平面之
2、间的位置关系 1借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的四个公理和等角定理 2以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定 通过直观感知、操作确认，归纳出线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理 3能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题 三、空间向量与立体几何(理)1空间向量及其运算(1)经历向量及其运算由平面向空间推广的过程(2)了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示(3)掌握
3、空间向量的线性运算及其坐标表示(4)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 2空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量(2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系(3)能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)(4)能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用 命题趋势 1空间几何体 空间几何体是立体几何初步的重要内容，高考非常重视对这一部分的考查一是在选择、填空题中有针对性地考查空间几何体的概念、性质及主要几何量(角度、距离、面积、体积)的计算等二是在解答题中，以空间几何体为载
4、体考查线面位置关系的推理、论证及有关计算 2空间点、直线、平面之间的位置关系 这一部分是立体几何的核心其中四个公理及其推论是立几理论体系的基础，是空间中确定平面的依据，是空间中平移变换的依据，是空间问题转化为平面问题的依据，是作图的依据，线面的平行与垂直关系是本章的主体内容，故高考命题一是以客观题形式考查对线线、线面、面面位置关系的理解与掌握二是通过大题考查对空间线线、线面、面面的平行与垂直的判定与性质定理的掌握，及有关角与距离的求法以多面体与旋转体为载体，结合三视图、直观图及面积、体积的计算是命题的主要方向 3空间向量与立体几何(理)高考试题中的立体几何解答题，包括部分选择、填空题，大多都可
5、以使用空间向量来解答高考在注重对立体几何中传统知识和方法考查的同时，加大了对空间向量的考查给考生展现综合利用所学知识解决实际问题的才能提供更宽阔的舞台 这一部分高考命题主要有以下几个方面：(1)空间向量基本定理(2)空间向量的数量积及坐标表示(3)用向量讨论立体几何问题(包括求角、求距离、证明垂直与平行等)其中(1)、(2)较少单独命题，总是穿插在(3)中 备考指南 1立足课本，控制难度，重点突出，坚持稳定，同时改革探索是新高考的导向课本例题具有紧扣教材，简明扼要，难度适中，方法典型，符合“通法通性”的特点，不少定理是以例题的形式出现的，因此重视课本的作用是能否提高复习效果的关键 2总结规律，
6、抓主线攻重点，规范训练立体几何解题过程中常带有明显的规律性只有不断总结，才能不断提高还应注意规范训练注意作、证、求三环节交代要清，表达要规范、严谨，要准确运用符号语言等 可以针对一些重点内容进行训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心，线面角、二面角、距离均与线面垂直密切相关因此对于线面垂直关系复习中要强化 3本章复习应根据定义、概念、定理多的特点进行复习中，要以空间几何体为依托，三视图、直观图作辅助，点、线、面的位置关系，特别是平行与垂直关系为主体，理线串点，架构立体几何的大厦，发展空间想象能力，理顺各种定义、定理、公理之间的横向、纵向联系 4复习中要加强数学思想方法的总结
7、与提炼，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，如割补思想、降维转化思想等自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果 5除了进行系统的整理复习外，侧重点还应放在高考中出现的易混易错的部分如(1)对空间几何体的三视图识图不准，代入面积、体积公式计算时错用公式，或是用对公式但计算错误等(2)对空间点、直线、平面位置关系判断不准确，作图能力差，不能准确找出相关几何量(3)对线面平行、垂直关系的判定、性质定理的条件把握不准，论证过程不严密等等 6(理)对空间向量与立体几何的复习重点(1)注意与平面向量的区别与联系(2)掌握向量数量积和向量坐标表示的基本公式及运算(3)在解决立体几何问题时，要抓
8、住立体几何位置关系用向量如何表示(如平行、垂直的向量表示，空间角、距离如何用向量来求)，及对空间向量运算结果的解释(4)切实理解并会用共面向量定理和空间向量基本定理 重点难点 重点：空间几何体的结构特征、性质 平行投影与中心投影性质，斜二测直观图画法规则与三视图画法原理、规则 难点：柱、锥、台、球的几何性质的掌握与运用 平行投影原理、斜二测直观图画法规则、三视图画法 知识归纳 1几何体与多面体的概念(1)如果我们只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，则这个空间部分叫做一个几何体(2)多面体定义：多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体 2棱柱(1)定义：有两个面互相平行，而
9、且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都，由这些面所围成的多面体叫做棱柱(2)分类：侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体，侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体互相平行(3)特殊的四棱柱四棱柱底面是平行四边形 平行六面体侧棱与底面垂直 直平行六面体底面为矩形 长 方 体 底面为正方形 正四棱柱棱长都相等 正方体 3棱锥及其分类(1)定义：有一个面是多边形，其余各面是的三角形由这些面所围成的几何体叫做棱锥(2)正棱锥：如果棱锥的底面是正多边形，顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这样的
10、棱锥叫做正棱锥有一个公共顶点 正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形这些等腰三角形的高叫做棱锥的斜高 棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形 4棱台的概念及性质(1)定义：棱锥被的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台平行于底面(2)正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台 正棱台的性质：各侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高，斜高都相等 两底面以及平行于底面的截面是相似多边形；两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形；正棱
11、台的上、下底面中心的连线是棱台的一条高 5圆柱、圆锥、圆台(1)圆柱、圆锥、圆台的概念 分别以矩形的一边、直角三角形一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台(2)圆柱的结构特征 平行于底面的截面都是圆；过轴的截面(轴截面)是全等的矩形 除了这两条重要特征外，还应掌握下面的一些重要属性 所有的轴截面是以两底面直径和两条母线为边的全等矩形，若该矩形为正方形，则圆柱叫等边圆柱 用平行于轴的平面去截圆柱，所得的截面是以底面圆的弦和两条母线为边的矩形也就是说过圆柱任意两条母线的截面一定是一个矩形，在这所有的截面矩形中，以轴截面面积最大(3)
12、圆锥的结构特征 平行于底面的截面都是圆；过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形；过圆锥两条母线的截面当轴截面的顶角不大于90时，轴截面面积最大；当轴截面顶角大于90时，两母线垂直时截面面积最大(4)圆台的结构特征 平行于底面的截面都是圆；过轴的截面是全等的等腰梯形 6球的概念与性质(1)定义：半圆绕它的直径所在直线旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球球面也可以看作空间中到定点的距离等于定长的点的集合(2)球的截面性质 用一个平面去截球，截面是圆面 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r，满足关系式：r(如图)1球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆 2不过球心的截面截得的圆叫做
13、球的小圆(3)球面距离：1定义：在球面上两点之间的最短距离，就是经过这两点的 在这两点间的一段的长度，这个弧长叫做两点的球面距离 2地球上的经纬线 当把地球看作一个球时，经线是球面上从北极到南极的半个大圆，纬线是与地轴垂直的平面与球面的交线，其中赤道是一个大圆，其余纬线都是一个小圆大圆劣弧 下面用图示说明地球上的经度、纬度：0经线也叫本初子午线东经180和西经180同在一条经线上，那就是180经线 P点的经度，也是AB弧或AOB的度数(1)P点的纬度，也是弧PA或POA的度数(2)由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体，叫做旋转体这条直线叫做旋转体的轴圆柱、圆锥、圆台和球都是旋
14、转体 7组合体 由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的几何体叫做组合体 8平行投影(1)平行投影的有关概念 平行投影：已知图形F，直线l与平面相交(下图)，过F上任意一点M作直线MM平行于l，交平面于点M，则点M叫做M在平面内关于直线l的平行投影(或象)图形的平行投影：如果图形F上的所有点在平面内关于直线l的平行投影构成图形F，则F叫做图形F在平面内关于直线l的平行投影平面叫做投射面，l叫做投射线(2)平行投影的性质 当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影都具有下述性质：直线或线段的平行投影仍是直线或线段；平行直线的平行投影是平行或重合的直线；平行于投射面的线段，它的投影与这条线段；与
15、投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形；在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比平行且等长全等 9直观图(1)直观图：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图(2)斜二测画法的规则：在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使xOz90，且yOz90.画直观图时(图(1)，把Ox、Oy、Oz画成对应的轴Ox、Oy、Oz，使xOy45(或135)，xOz90.xOy所确定的平面表示水平平面 已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴，y轴、z轴的线段并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同 已
16、知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴或在y轴上的线段，长度为原来的一半 画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图 10中心投影 一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在平面上的中心投影 中心投影的投射线相交于一点 11三视图(1)正投影的性质 在物体的平行投影中，如果投射线与投射面，则称这样的平行投影为正投影 容易知道，正投影除具有平行投影的性质外，还有如下性质：垂直于投射面的直线或线段的正投影是 垂直于投射面的平面图形的正投影是垂直点直线或直线的一部分(2)三视图 为了使画出的图形更准确地反映空间图形的大小和形状通常总是选
17、择三个两两互相垂直的平面作为投射面作正投影 一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做 一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面；投射到这个平面内的图形叫做(或正视图)俯视图主视图 和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投射到这个平面内的图形叫做(或侧视图)将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图左视图 误区警示 1注意特殊的四棱柱的区别：直四棱柱、正四棱柱、长方体、正方体、平行六面体、直平行六面体 2棱台的各侧棱延长线交于一点是判断棱台的主要依据
18、，两底面平行且是相似多边形 3旋转体的概念(1)矩形绕一边旋转，应分清哪一边(2)直角三角形绕一条“直角边”旋转形成圆锥(3)直角梯形绕“垂直于两底的腰”旋转形成圆台(4)球面与球是两个不同的概念，球面只是球的表面(5)球面距离实质上是弧长，所以要求两点的球面距离，应找到过这两点的大圆，确定劣弧所对的圆心角，再运用弧长公式lR即可求得(6)经、纬度的找法：球面上一点的球半径和纬小圆半径夹角大小等于该点的纬度，纬度圈上两点的球小圆半径夹角为两点的经度差 4投影与直观图(1)平行投影的投射线互相平行，中心投影的投射线相交于一点(2)直观图与原图形面积的关系讨论中，要牢记原来平行于y轴的变成夹角45
19、，长度减半(3)直观图与三视图的相互转化，应牢记柱、锥、台、球的图形特征及斜二测画法规则和正投影性质，特别注意左视图的投影方向(4)画图时，被遮挡部分应画成虚线，和平面几何不同，添加的辅助线被遮挡的画成虚线，否则应画实线(5)多面体与旋转体的组合体画图时，应优先考虑多面体的对角面，注意旋转体轴截面与多面体几何量之间的联系 5注意还台为锥的解题方法的运用，将台体还原为锥体可利用锥体的性质注意正棱锥中的四个直角三角形为：高、斜高及底面边心距组成一个直角三角形；高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形；底面的边心距、外接圆半径及半边长组成一个直角三角形；侧棱、斜高及底边一半组成一个直角三角形 正棱
20、台中的三个直角梯形为：高、斜高及上、下底面的边心距组成一个直角梯形；侧棱、斜高及上、下底边的一半组成一个直角梯形；侧棱、高及上、下外接圆半径组成一个直角梯形；两个直角三角形为上、下底面的边心距，外接圆半径和边的一半 一、侧(表)面展开 多面体及旋转体沿表面或侧面最短路程问题，一般用侧(或表)面展开图解决 二、三视图的画法要求(1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线，尺寸线用细实线标出(2)三视图的主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线画三视图的基本要求是：主俯一样长，俯左一样宽，主左一样高 由三视图想象几何体特征时要根据“长对正、宽相
21、等、高平齐”的原则作出判断 例1 如图所示，正四棱台ABCDABCD的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台的侧棱长和斜高 分析：依据正棱台中，“高、斜高及两底面的边心距组成直角梯形；高、侧棱、两底面半径组成直角梯形”求解解析：设棱台两底面的中心分别是 O、O，BC、BC 的中点分别是 E、E.则四边形 OBBO、OEEO都是直角梯形在正方形 ABCD 中，BC16cm，则 OB8 2cm，OE8cm.在正方形 ABCD中，BC4cm，则 OB2 2cm，OE2cm.在直角 梯形OOBB中，BBOO2OBOB2 1728 22 2219(cm)在直角梯形 OOEE中，EE
22、 OO2OEOE2 1728225 13(cm)所以这个棱台的侧棱长为 19cm，斜高为 5 13cm.正三棱锥的底面边长为2，高为2，则其表面积为_ 解析：如图，PH平面ABC，垂足H，E为BC中点，则HE13 32 2 33，PH2，PE PH2HE2 393，S 表 34 223122 393 3 39.例2 圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍求两底面的半径与两底面面积之和解析：设圆台上底面半径为 r，则下底面半径为 2r，ASO30，在 RtSAO中，rSAsin30，SA2r，在RtSAO 中，2rSAsin30，SA4r.SASAAA
23、，即 4r2r2a，ra.SS1S2r2(2r)25r25a2.圆台上底面半径为 a，下底面半径为 2a，两底面面积之和为 5a2.(2010辽宁文，11)已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA平面ABC，ABBC，SAAB1，BC，则球O的表面积等于()A4 B3 C2 D解析：ABBC，AC 为截面圆的直径，AC 中点为截面圆的圆心设 D 为 AC 中点，连 OD，则 OD平面 ABCSA平面 ABCSAOD连 SC 则 SC SA2AC2 12 322又 SB 2，BC 2，SC2SB2BC2SBC90，SAC90，SC 为球 O 的直径2R2 故 R1S 球4R24，选 A.答案：A
24、 例3 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形求(1)该几何体的体积V；(2)该几何体的侧面积S.解析：由三视图可知，该几何体底面是边长为 8 和 6的矩形，高为 4.顶点在底面射影恰为底面矩形的中心如图，E、F分别为 CD、BC 的中点，易求 PE4 2，PF5.(1)V13S 矩形 ABCDPO1368464.(2)S212BCPF12CDPE212851264 2 4024 2.点评：要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能
25、迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图(2010广东)如图1，ABC为正三角形，AABBCC，CC平面ABC且3AABBCCAB，则多面体ABCABC的正视图(也称主视图)是()图1 解析：正视图是从正前方向后投影，由条件知AABBCC，CC平面ABC，故其正投影是三条平行的线段，且都与AB的投影垂直，CC应为虚线，其长度比为AABBCC123，其投影保持这个长度不变，故选D.答案：D 例4 已知四棱锥PABCD的直观图及三视图如图所示(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)若E是侧棱PC的中点，求证：PA平面BDE；(3)若E是侧棱PC上的动点，不论点E在什么位置，是否都有BDAE？证明你的
26、结论解析：(1)由该四棱锥的直观图和三视图可知，该四棱锥 PABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PC底面 ABCD，且 PC2，VPABCD13S 四边形 ABCDPC23.(2)连接AC交BD于F，如图所示，则F为AC的中点，又E为PC的中点，PAEF，又PA平面BDE，EF平面BDE，PA平面BDE.(3)不论点E在什么位置，都有BDAE.证明：连接AC，四边形ABCD是正方形，BDAC.PC底面ABCD，且BD平面ABCD，BDPC.又ACPCC，BD平面PAC，不论点E在什么位置，都有AE平面PAC.不论点E在什么位置，都有BDAE.一、选择题 1如图，下列几何体各自的三视图
27、中，有且仅有两个视图相同的是()A B C D 答案 D 解析 正方体的正视、侧视、俯视图都为正方形；圆锥的主视、左视、俯视图依次为：三角形、三角形、圆；三棱台的主视、左视、俯视图依次为：梯形、梯形、三角形；正四棱锥的主视、左视、俯视图依次为：三角形、三角形、正方形2(文)已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的表面积是()A4a2B3a2C(5 2)a2D(3 2)a2答案 C解析 由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单的组合体，它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的下底面与圆柱的底面重合S 表面积S 上部圆锥侧面积S 下部圆柱侧面积S 圆柱底面积a 2a2a2aa2(5 2
28、)a2.(理)(2010安徽宣城一中)某空间几何体的三视图如图所示，其正(主)视图与侧(左)视图都是边长为 2 的正三角形，俯视图的轮廓为正方形，则此空间几何体的体积是()A.4 33 B.4 23C.2 33 D.2 23答案 A解析 由三视图可知此空间几何体为正四棱锥，其底面是边长为 2 的正方形，高为 3，所以此空间几何体的体积 V1322 34 33.二、填空题 3(文)(2010湖南文，13)如下图中的三个直角三角形是一个体积20cm3的几何体的三视图，则h_ cm.答案 4解析 该几何体是一个底面为直角三角形、一条侧棱垂直于底面的三棱锥，如图，V131256 h20，h4 cm.(
29、理)棱长为a的正四面体ABCD的四个顶点均在一个球面上，则此球的半径R_.解析 如图，设正四面体 ABCD 内接于球 O，由 D点向底面 ABC 作垂线，垂足为 H，连接 AH，OA，可知 O点在 DH 上，则可求得 AH 33 a，DHa233 a 2 63a，在 RtAOH 中，33 a 263 aR 2R2，解得 R 64 a.1(2010北京调研)一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是()A1 B2 C3 D4 答案 B解析 这个四棱锥的底面边长为 2，高是 1343，底面积是 2 22，故其体积为13232.故选B.2(2010中山期末)如图所示，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是()答案 B 解析 箭头所指正面的观察方向与底面直角三角形边长为4的边平行，故该边的射影为一点，与其垂直的直角边的长度3不变，高4不变，故选B.
