1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。86.3平面与平面垂直(一)在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直【问题1】怎样刻画笔记本电脑张开程度的大小？【问题2】二面角的平面角是怎样定义的？【问题3】怎样判定两个平面垂直？1二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形；(2)概念：(3)记作：二面角AB；二面角l；二面角PABQ.2二面角的平
2、面角(1)定义：在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角(2)图形：(3)范围：0180.3平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直平面与垂直，记作：；(2)图示：(3)判定定理：定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直符号：a，a.(1)两个平面垂直是两个平面相交的特殊情况例如长方体中任意相邻两个面都是互相垂直的(2)两个平面垂直和两条直线互相垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的(3)通过直线与平面垂直来证明平面与
3、平面垂直，即线面垂直面面垂直证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决定义能否作为判定两个平面垂直的依据？提示：能定义既是判定也是性质1.为什么二面角平面角的大小与在二面角棱上的取点无关？2二面角的平面角确定的平面与二面角的棱什么关系？3如果一条直线垂直于一个平面，那么经过这条直线的任何一个平面与这个平面什么关系？提示：1.根据等角定理，取不同点时，角都是相等的；2.垂直；3.垂直观察教材第158页图8.628，图中相互垂直的平面有哪些？提示：平面PAC与平面PBC；平面PAB与平面ABC；平面PAC与平面ABC.1在二面角l的棱l上任选一点O，若AO
4、B是二面角l的平面角，则必须具有的条件是()A.AOBO，AO，BOBAOl，BOlC.ABl，AO，BOD.AOl，BOl，且AO，BO【解析】选D.由二面角的平面角的定义可知2如图所示，在三棱锥PABC中，若PAPB，PBPC，PCPA，则在三棱锥PABC的四个面中，互相垂直的面有_对【解析】平面PAB平面PAC，平面PAB平面PBC，平面PAC平面PBC.答案：3基础类型二面角平面角的概念及求法(逻辑推理、数学运算)1如图，AC平面BCD，BDCD，ACAD，二面角ABDC_2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求二面角BA1C1B1的正切值【解析】1.因为AC平面BCD，BD平面
5、BCD，所以BDAC.又因为BDCD，ACCDC，所以BD平面ACD.因为AD平面ACD，所以ADBD，所以ADC即为二面角ABDC的平面角在RtACD中ACAD，所以ADC30.答案：302取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1OA1C1，又BA1BC1，O为A1C1的中点，所以BOA1C1，所以BOB1即是二面角BA1C1B1的平面角因为BB1平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1OB1.设正方体的棱长为a，则OB1a，在RtBB1O中，tan BOB1，所以二面角BA1C1B1的正切值为.求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”微提醒：找二面角的平面角可
6、以从与二面角的棱垂直的边入手，根据定义确定平面角综合类型面面垂直的判定及应用(直观想象、逻辑推理)利用判定定理证明面面垂直【典例】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，BADCDA90，PA平面ABCD，PAADDC1，AB2证明：平面PAC平面PBC.【证明】由已知得AC，BC，AB2，所以AC2BC2AB2，所以BCAC，因为PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC，因为PAACA，所以BC平面PAC，因为BC平面PBC，所以平面PAC平面PBC.本例条件不变，试证明：平面PDC平面PAD.【证明】在直角梯形ABCD中，CDAD.因为PA平面ABCD，所以PACD，又
7、ADPAA，所以CD平面PAD.又因为CD平面PDC，所以平面PDC平面PAD.利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：【加固训练】 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D在棱BB1上，点E为B1C1的中点证明：平面A1DE平面BCC1B1；【证明】因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以BB1平面A1B1C1，又A1E平面A1B1C1，所以A1EBB1，因为ABC是正三角形，所以A1B1C1也是正三角形，又点E为B1C1的中点，所以A1EB1C1，又BB1B1C1B1，所以A1E平面B
8、CC1B1，又A1E平面A1DE，所以平面A1DE平面BCC1B1.定义法证明面面垂直【典例】如图，已知BSC90，BSACSA60，又SASBSC，求证：平面ABC平面SBC.【证明】因为BSACSA60，SASBSC，所以ASB和ASC都是等边三角形，则有SASBSCABAC，令其值为a，则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形，取BC的中点D，连接AD，SD，则ADBC，SDBC，所以ADS为二面角ABCS的平面角，在RtBSC中，因为SBSCa，所以SDa，BDa，在RtADB中，ADa，因为SD2AD2SA2，所以ADS90.即二面角ABCS为直二面角，故平面ABC平面SBC.1已知
9、直线l平面，则经过l且和垂直的平面()A有1个 B有2个C有无数个 D不存在【解析】选C.经过l的平面都与垂直，而经过l的平面有无数个2下列命题中正确的是()A若平面和分别过两条互相垂直的直线，则B若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则C若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则D若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则【解析】选C.当平面和分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面和有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确3已知直线a，b与平面，下面能使成立的条件是()A， Ba，ba，bCa，a Da，a【解析】选D.由a，知内必有直线l与a平行，而a，所以l，所以.4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是BD的中点，二面角C1BDC的平面角是_，其正切值为_【解析】如图二面角C1BDC的平面角是C1OC；其正切值为.答案：C1OC5已知PA矩形ABCD所在的平面(如图)，图中互相垂直的平面有_对【解析】因为DAAB，DAPA，ABPAA，所以DA平面PAB，同样BC平面PAB，又易知AB平面PAD，所以DC平面PAD.所以平面PAD平面ABCD，平面PAD平面PAB，平面PBC平面PAB，平面PAB平面ABCD，平面PDC平面PAD，共5对答案：5关闭Word文档返回原板块
