1、3.1.3导数的几何意义学 习 目 标核 心 素 养1.理解导数的几何意义.2.会求曲线上在某点处的切线方程(重点)3.理解曲线上在某点处的切线与过曲线上某点处的切线的区别(难点)1.在理解导数的几何意义的基础上，提升学生的数学抽象素养.2.在求解曲线上在某点处的切线方程中提升学生的逻辑推理，数学运算素养.导数的几何意义(1)切线的定义：当Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于极限位置，这个极限位置的直线PT称为曲线在点P处的切线(2)导数f(x0)的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数就是切线的斜率k，即k f(x0)(3)切线方程：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0
2、)f(x0)(xx0)思考1：是否任何曲线的割线均有斜率？提示不是，当曲线的割线垂直于x轴时，此割线的斜率不存在思考2：当点Pn无限趋近于点P时，割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系？提示kn无限趋近于切线PT的斜率k.1已知曲线yf(x)2x2上一点A(2,8)，则曲线在点A处的切线斜率为()A4B16C8D2Cf(2) 8.2函数y在处的切线方程是()Ay4xBy4x4Cy4x4Dy2x4B先求y的导数：y， ，即y，所以y在点处的切线斜率为ky|4.所以切线方程是y24，即y4x4.3若函数f(x)在x0处的导数f(x0)，则函数f(x)在x0处的切线的倾斜角为_60设倾斜角
3、为，则tan f(x0)，所以60.求切点坐标【例1】已知抛物线y2x21，求(1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45？(2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30?解设点的坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0x2(x)2.4x02x. 4x0，即f(x0)4x0.(1)抛物线的切线的倾斜角为45，斜率为tan 451，即f(x0)4x01，得x0，该点为.(2)抛物线的切线平行于直线4xy20，斜率为4，即f(x0)4x04，得x01，该点为(1,3)(3)抛物线的切线与直线x8y30垂直，斜率为8，即f(x0)4x08，得
4、x02，该点为(2,9)根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0).(2)求导函数f(x).(3)求切线的斜率f(x0).(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标.1若曲线yx22ax与直线y2x4相切，求a的值并求切点坐标解设切点坐标为(x0，y0)f(x0x)f(x0)(x0x)22a(x0x)x2ax02x0x(x)22ax，2x02ax， 2x02a，f(x0)2x02a，2x02a2.又y02x04，y0x2ax0，联立消去a，y0得x02，当x02时a1，切点坐标为(2,0)；当x02
5、时a3，切点坐标为(2，8).求切线方程探究问题1曲线的割线与切线有什么关系？提示(1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当另一点无限接近这一点时割线趋于的直线(2)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以有无穷多与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线2曲线在某点处切线与在该点处的导数有什么关系？提示(1)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且导数值是该切线的斜率(2)函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0)处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)在x0处有切线，但不可导【例2】已知曲线C：yf(x)x3.求曲线C上在点
6、(1，f(1)处的切线方程思路探究解y(1x)31(x)33(x)23(x)，f(1) (x)23(x)33.又f(1)1，曲线C上在点(1，f(1)处的切线方程为y13(x1)，即3xy20.1(变换条件)本典例曲线方程不变，试求过点P(1,1)与曲线C相切的直线方程解设切点为P(x0，x)，切线斜率为kf(x0) 3x3xx0(x)23x，故切线方程为yx3x(xx0)又点(1,1)在切线上，将其代入切线方程得1x3x(1x0)，有(1x0)(1x0x)3x(1x0)0，所以(x01)2(2x01)0，解得x01或x0.故所求的切线方程为y13(x1)或y，即3xy20或3x4y10.2(
7、改变问法)本典例中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？解由得x33x20，即(x1)2(x2)0.解得x11，x22，从而求得公共点P(1,1)，Q(2，8)即切线与曲线C除了切点外，还有其他的公共点(1)求曲线在某点处的切线方程的三个步骤(2)求曲线yf(x)过点P(x0，f(x0)的切线方程：设切点为(m，f(m)；求函数yf(x)在点m处的导数f(m)；根据直线的点斜式方程，写出切线方程为yf(m)f(m)(xm)；代入P(x0，f(x0)求出m的值，回代即可求出切线方程提醒：求曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线方程时，点P(x0，y0)不一定是切点导数几何意义的应用【例3】如图所
8、示表示物体运动的位移随时间变化的函数f(t)4t2t2的图象，试根据图象，描述、比较曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况，并求出t2时的切线方程思路探究本题考查导数几何意义的应用，明确导数的几何意义是解题的关键f(x0)表示曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率，要比较f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况，即比较切线的倾斜程度解用曲线f(t)在t0，t1，t2处的切线刻画曲线f(t)在t0，t1，t2附近的变化情况(1)当tt0时，曲线f(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以在tt0附近曲线比较平坦，几乎没有升降；(2)当tt1时，曲线f(t)在t1处的切线l1的斜率
9、f(t1)0，所以在tt1附近曲线下降，即函数f(t)在tt1附近单调递减；(3)当tt2时，曲线f(t)在t2处的切线l2的斜率f(t2)”连接)(1)B(2)k1k3k2(1)由函数yf(x)的导函数yf(x)的图象自左到右先增后减，可知函数yf(x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小(2)由导数的几何意义，可得k1k2.k3表示割线AB的斜率，k1k3k2.1思考辨析(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个交点()(3)设f(x0)0，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线与x轴平行或重合()提示(1)(f(x0)0，而f(x0)可以
10、为任意实数(2)(3)2若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1Da1，b1Af(0) (xa)a1.又(0，b)在xy10上，所以b1.故选A.3如图所示的是yf(x)的图象，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能确定B分别过A，B两点曲线的切线，由切线的斜率知kBkA，f(xB)f(xA)故选B.4已知函数yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为yx2，则f(1)f(1)_.4f(1)123，f(1)k1，f(1)f(1)4.5已知曲线yx3上一点P，求曲线在点P处的切线方程解记yf(x)，因为点P在曲线yx3上，所以曲线在点P处的切线的斜率即为f(2)，而f(2) 32232x(x)2224，故曲线yx3在点P处的切线方程为y4(x2)，即12x3y160.
