1、课时作业18 抛物线的简单几何性质时间：45 分钟基础巩固类一、选择题1已知抛物线的对称轴为 x 轴，顶点在原点，焦点在直线2x4y110 上，则此抛物线的方程是()Ay211x By211xCy222x Dy222xC解析：在方程 2x4y110 中，令 y0 得 x112，抛物线的焦点为 F112，0，即p2112，p11，抛物线的方程是 y222x，故选 C.2边长为 1 的等边三角形 AOB，O 为坐标原点，ABx 轴，以 O 为顶点且过 A，B 的抛物线方程是()Ay2 36 xBy2 33 xCy2 36 xDy2 33 xC解析：设抛物线方程为 y2ax(a0)又 A(32，12
2、)(取点 A在 x 轴上方)，则有14 32 a，解得 a 36，所以抛物线方程为y2 36 x.故选 C.3过点(2,4)作直线 l，与抛物线 y28x 只有一个公共点，这样的直线 l 有()A1 条B2 条C3 条D4 条B解析：由题意可知点(2,4)在抛物线 y28x 上，过点(2,4)与抛物线 y28x 只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行4与直线 2xy40 平行的抛物线 yx2 的切线方程为()A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy10D解析：设切线方程为 2xym0，联立yx22xym0，得 x22xm0.由 44m0，得 m1，所
3、以切线方程为 2xy10.故选 D.5若 P(x0，y0)是抛物线 y232x 上一点，点 F 为抛物线的焦点，则|PF|()Ax08 Bx08C8x0 Dx016C解析：由题意可知抛物线开口向左，且 p322 16，因此抛物线的准线方程为 x8，因此|PF|8x0.6过抛物线 x24y 的焦点 F 作直线交抛物线于 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若 y1y26，则|P1P2|的值为()A5 B6C8 D10C解析：抛物线 x24y 的准线为 y1，因为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到
4、准线的距离分别是 y11，y21，所以|P1P2|的值为 y1y228.7过点(1,0)作斜率为2 的直线，与抛物线 y28x 交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为()A2 13 B2 15C2 17 D2 19B解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意知 AB 的方程为 y2(x1)，即 y2x2.由y28x，y2x2，得 x24x10，x1x24，x1x21.|AB|1k2x1x224x1x2 14164 5122 15.8过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 且倾斜角为 120的直线 l与抛物线在第一、四象限分别交于 A，B 两点，则|AF|BF|的值等于()A.13B.2
5、3C.34D.43A解析：记抛物线 y22px(p0)的准线为 l，作 AA1l，BB1l，ACBB1，垂足分别是 A1，B1，C，则有 cosABB1|BC|AB|BB1|AA1|AF|BF|BF|AF|AF|BF|，所以 cos60|BF|AF|AF|BF|12，由此得|AF|BF|13.二、填空题9过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 作倾斜角为 45的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的长为 8，则 p.2解析：直线 yxp2，故yxp2y22px，x23pxp24 0，|AB|8x1x2p，4p8，p2.10已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，焦点在 x 轴上，直线yx 与
6、抛物线 C 交于 A，B 两点若 P(2,2)为 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为.y24x解析：设抛物线方程为 y2kx，与 yx 联立方程组，消去y，得 x2kx0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2k.又P(2,2)为 AB 的中点，x1x222.k4.y24x.11设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足，如果直线 AF 的斜率为 3，那么|PF|.8解析：设准线交 x 轴于点 B，O 为坐标原点，依题意 kAF 3，则AFO60.又|BF|4，所以|AB|4 3，则点 P 的纵坐标为 4 3，所以(4 3)28xp，得 x
7、p6，即点 P 的横坐标为 6，所以|PF|PA|8.三、解答题12已知顶点在原点，焦点在 x 轴的负半轴的抛物线截直线yx32所得的弦长|P1P2|4 2，求此抛物线的方程解：设抛物线方程为 y22px(p0)，把直线方程与抛物线方程联立得yx32，y22px，消元得 x2(32p)x940，判别式(32p)294p212p0，解得 p0 或 p0)中，得 y22x.综上，所求抛物线方程为 y22x.13已知直线 l 经过抛物线 y24x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A，B 两点(1)若|AF|4，求点 A 的坐标；(2)求线段 AB 的长的最小值解：由 y24x，得 p2，其准线方程为
8、x1，焦点 F(1,0)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由抛物线的定义可知，|AF|x1p2，从而 x1413.代入 y24x，解得 y12 3.点 A 的坐标为(3,2 3)或(3，2 3)(2)当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x1)与抛物线方程联立，得ykx1，y24x，消去 y，整理得 k2x2(2k24)xk20.直线与抛物线相交于 A，B 两点，则 k0，并设其两根为 x1，x2，x1x224k2.由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p44k24.当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，与抛物线相交于 A(1,2)，B(1，2)，此时|
9、AB|4，|AB|4，即线段 AB 的长的最小值为 4.能力提升类14已知抛物线 y22px(p0)，ABC 的三个顶点都在抛物线上，O 为坐标原点，设ABC 三条边 AB，BC，AC 的中点分别为 M，N，Q，且 M，N，Q 的纵坐标分别为 y1，y2，y3.若直线 AB，BC，AC 的斜率之和为1，则1y11y21y3的值为()A 12pB1pC.1pD.12pB解析：设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，则 y2A2pxAy2B2pxBy2C2pxC，将三个式子两两相减，得yAyByAyB2pxAxByAyCyAyC2pxAxCyByCyByC2pxBxC，即2y1y
10、AyB2pxAxB2y3yAyC2pxAxC2y2yByC2pxBxC，即 py1yAyBxAxBkABpy2yByCxBxCkBCpy3yAyCxAxCkAC，所以1y11y21y31p(kABkBCkAC)1p.故选 B.15如图所示，斜率为 1 的直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点 F，与抛物线交于 A，B 两点，M 为抛物线上 A，B 间的动点(1)若|AB|8，求抛物线的方程；(2)求ABM 面积 S 的最大值解：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由已知条件知 l：yxp2，与 y22px 联立，消去 y，得 x23px14p20.则 x1x23p.由抛物线的定义
11、，得|AB|x1x2p4p.又|AB|8，所以 p2，所以抛物线的方程为 y24x.(2)方法一：由(1)知|AB|4p，且 l：yxp2.设 M(y202p，y0)，则点 M 到直线 l 的距离 d|y202py0p2|2.因为点 M 在直线 AB 的左上方，所以y202py0p20，则 d|y202py0p2|2y202py0p22y202py0p22 2py0p22p22 2p.当 y0p 时，dmax 22 p.故 S 的最大值为124p 22 p 2p2.方法二：由(1)知|AB|4p，且 l：yxp2.设与直线 AB 平行且与抛物线相切的直线方程为 yxm，代入抛物线方程，得 x22(mp)xm20.由 4(mp)24m20，得 mp2.所以与直线 AB 平行且与抛物线相切的直线方程为 yxp2，两平行直线间的距离为|p2p2|2 22 p，故 S 的最大值为124p 22 p 2p2.
