1、选修45 不等式选讲第一节 绝对值不等式 对于任意的实数 a(a0)和 b，不等式|ab|ab|M|a|恒成立，记实数 M 的最大值是 m.(1)求 m 的值；(2)解不等式|x1|x2|m.解：(1)不等式|ab|ab|M|a|恒成立，即 M|ab|ab|a|对于任意的实数 a(a0)和 b 恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值 因为|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|，当且仅当(ab)(ab)0 时等号成立，|a|b|时，|ab|ab|a|2 成立，也就是|ab|ab|a|的最小值是 2，即 m2.(2)|x1|x2|2.法一 利用绝对值的意义得：12x52.法二 当 x2 时，原
2、不等式化为(x1)(x2)2，解得 x 的取值范围是 2x52.综上可知，不等式的解集是x12x52.1(1)利用绝对值不等式性质定理要注意等号成立的条件 当 ab0 时，|ab|a|b|；当 ab0 时，|ab|a|b|；当(ab)(bc)0 时，|ac|ab|bc|.(2)对于求 y|xa|xb|或 y|xa|xb|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便 2第(2)问易出现解集不全或错误对于含绝对值的不等式不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏(2014江西卷改编)x，yR，若|x|y|x1|y1|2，试求 xy 的取值范围解：由绝对值的几何意义知，|x|x1|是数轴上的点 x
3、 到原点和点 1 的距离之和，所以|x|x1|1，当且仅当 x0，1时取等号 同理|y|y1|1，当且仅当 y0，1时取“”|x|y|x1|y1|2.又|x|y|x1|y1|2.|x|y|x1|y1|2，此时 x0，1，y0，1，xy 的取值范围是0，2 已知函数 f(x)|xa|x2|.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)3 的解集；(2)若 f(x)|x4|的解集包含1，2，求 a 的取值范围解：(1)当 a3 时，不等式 f(x)3 化为|x3|x2|3.(*)若 x2 时，由(*)式，得 52x3，x1.若 2x0)(1)证明：f(x)2；(2)若 f(3)0 时，f(x)x1a|x
4、a|x1a（xa）1aa2.所以 f(x)2.(2)解：f(3)31a|3a|.当 a3 时，f(3)a1a 由 f(3)5，得 3a5 212 当 0a3 时，f(3)6a1a 由 f(3)0.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围解：(1)当 a1 时，f(x)1 化为|x1|2|x1|10.当 x1 时，不等式化为 x40，无解；当1x0，解得23x0，解得 1x2.所以 f(x)1 的解集为x23x6，故 a2.所以 a 的取值范围为(2，)1研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决是常用的思维方法 2第(2)问求解要抓住三点：(1)分段讨论，去绝对值符号化 f(x)为分段函数；(2)数形结合求ABC 的三个顶点坐标，进而得出ABC的面积；(3)解不等式求 a 的取值范围(2016郑州质检)已知函数 f(x)|3x2|.(1)解不等式|x1|0)，若|xa|f(x)1m1n(a0)恒成立，求实数 a 的取值范围解：(1)依题设，得|x1|3x2|(x1)214或 x14或x0，因此 0a103.
