1、高考资源网（） 您身边的高考专家课时跟踪检测（十六） 空间向量的数量积运算一、基本能力达标1已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|b|1，ab，则两直线的夹角为()A30B60C120D150解析：选B设向量a，b的夹角为，则cos ，所以120，则两个方向向量对应的直线的夹角为18012060.2已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()Aa2Ba2C.a2D.a2解析：选C()()a2.3.如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A2 B2C2
2、D2解析：选B22a2cos 60a2,222a2cos 60a2,2a2,2a2，故选B.4已知e1，e2是夹角为60的两个单位向量，则ae1e2与be12e2的夹角是()A60B120C30D90解析：选Bab(e1e2)(e12e2)ee1e22e1112，|a|，|b|.cosa，b.a，b120.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：()232；()0；与的夹角为60；正方体的体积为|.其中正确命题的个数是()A1B2C3D4解析：选B如图所示，()2()2232；()0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60，故与的夹角为120；正方体的体积为|.综上可知，正确6已知
3、|a|13，|b|19，|ab|24，则|ab|_.解析：|ab|2a22abb21322ab192242，2ab46，|ab|2a22abb253046484，故|ab|22.答案：227.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，设ADAA11，AB2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为_，_.解析：法一：连接A1D，则PA1D就是与所成角连接PD，在PA1D中，易得PA1DA1PD，即PA1D为等边三角形，从而PA1D60，即与所成角的大小为60.因此cos 601.法二：根据向量的线性运算可得()21.由题意可得PA1B1C，则cos，1，从而，60.答案：6018已知a，b是异面
4、直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a，b所成的角是_解析：，()|21，cos，异面直线a，b所成角是60.答案：609.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.证明：PABD.证明：由底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD知，DABD，则0.由PD底面ABCD知，PDBD，则0.又，()0，即PABD.10.如图，正四棱锥PABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明BDPC；(2)求|的值解：(1)证明：，()|cos 60|cos 120a2a20.BDPC.(2)，|2|2|2|2222a2a2
5、a202a2cos 602a2cos 605a2，|a.二、综合能力提升1在空间四边形OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，()A.BCD0解析：选D()|cos，|cos，因为，|，所以0，所以，所以cos，0.2已知空间四边形ABCD中，ACDBDC90，且AB2，CD1，则AB与CD所成的角是()A30B45C60D90解析：选C根据已知ACDBDC90，得0，()|2|21，cos，AB与CD所成的角为60.3已知在正四面体ABCD中，所有棱长都为1，ABC的重心为G，则DG的长为()A.BC.D.解析：选D如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，G是ABC的重心，AGAM
6、，() ()，而()22221112(cos 60cos 60cos 60)6，|.4设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，则BCD是()A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D等腰三角形解析：选B，()()|2|20，cos CBDcos，0，CBD为锐角，同理，BCD与BDC均为锐角，BCD为锐角三角形5已知a，b是空间两个向量，若|a|2，|b|2，|ab|，则cosa，b_.解析：将|ab|两边平方，得(ab)27.因为|a|2，|b|2，所以ab.又ab|a|b|cosa，b，故cosa，b.答案：6.如图所示，在一个直二面角 AB的棱上有两点A，B，AC，BD分别是这
7、个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB4，AC6，BD8，则CD的长为_解析：，()2222163664116，|2.答案：27.如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长解：(1)证明：，.BB1平面ABC，0，0.又ABC为正三角形，.()()2|cos，2110，AB1BC1.(2)由(1)知|cos，221.又| |，cos，|2，即侧棱长为2.8.如图，正四面体VABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；(2)求，解：设a， b， c，正四面体的棱长为1，(1)证明：因为(abc)，(bc5a)， (ac5b)， (ab5c)，所以(bc5a)(ac5b)(18ab9|a|2)0，所以，即AOBO.同理，AOCO，BOCO.所以AO，BO，CO两两垂直(2)(abc)c(2a2bc)，所以| .又| ，(2a2bc)(bc5a)，所以cos，.又，0，所以，.高考资源网版权所有，侵权必究！
