1、四川省遂宁市2021届高三数学下学期4月第三次诊断性考试（三诊）试题 理本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。第卷（选择题，满分60分）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。2选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。3考试结束后，将答题卡收回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目
2、要求的。1已知集合，则下列判断正确的是A B C且 D 2已知，则A B C D 3. 已知随机变量服从正态分布，则A. B. C. D. 4已知等差数列满足，则它的前项的和A B C D 5已知圆的圆心为直线与的交点，半径为，且圆截直线所得弦的长度为，则实数A B C D 6. 在递增的数列中，若，前项和则A B C D 7. 将直角三角形、矩形、直角梯形如图一放置，它们围绕固定直线L旋转一周形成几何体，其三视图如图二，则这个几何体的体积是附：柱体的体积公式（为底面面积，为柱体的高）锥体的体积公式（为底面面积，为锥体的高）台体的体积公式（，为台体的上、下底面面积，为台体的高）A. B. C.
3、 D. 8设，为双曲线C:的左、右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线C的左、右支交于，两点，若，则该双曲线的离心率为A. B. C. D. 9. 已知函数为上的奇函数，当时，；若， ，则A. B C. D. 10已知在中，角所对的边分别为，且，. 又点都在球的球面上，且点到平面的距离为，则球的体积为A B C. D 11. 已知是边长为2的等边三角形，其中为边的中点，的平分线交线段于点，交于点，且（其中，），则的最小值为A. B. C. D. 12. 已知函数，又当时，恒成立，则实数的取值范围是A B CD 第卷（非选择题，满分90分）注意事项：1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第卷答题卡上作答，不能答
4、在此试卷上。2试卷中横线及框内注有“”的地方，是需要你在第卷答题卡上作答。本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。13复数（其中为虚数单位），则 14已知向量，且与垂直，则 15在的展开式中，的系数为 （用数字作答）16已知斜率为的直线过抛物线：的焦点，与抛物线交于，两点（点在点的左侧），又为坐标原点，点也为抛物线上一点，且，则实数的值为 三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）已知数列中， （1）求数列的通项公
5、式；（2）若，且数列的前项和为，求18.（本小题满分12分）某校数学教研组，为更好地提高该校高三学生圆锥曲线的选填题的得分率，对学生圆锥曲线的选填题的训练运用最新的教育技术做了更好的创新，其学校教务处为了检测其质量指标，从中抽取了100名学生的训练成绩（总分50分），经统计质量指标得到如图所示的频率分布直方图. （1）求所抽取的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（2）将频率视为概率，从该校高三学生中任意抽取4名学生，记这4个学生圆锥曲线的选填题的训练的质量指标值位于内的人数为，求的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图, 在直四棱柱中, 底面四边形为梯形, 点
6、为上一点, 且，, （1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线与椭圆交于两点，的面积为，点为椭圆的下顶点， （1）求椭圆的标准方程；（2）经过抛物线的焦点的直线交椭圆于两点，求的取值范围21.（本小题满分12分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：；（3）求证：当时，方程有且仅有个实数根.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系
7、直线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（2）若，求以曲线与轴的交点为圆心，且这个交点到直线的距离为半径的圆的方程。23（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数（1）求不等式的解集；（2）当取最小值时，求使得成立的正实数的取值范围遂宁市高中2021届三诊考试数学（理科）试题参考答案及评分意见一、选择题（125=60分）题号123456789101112答案ACACBBCBDDAA二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。13. 14 15 16或三、解答题：本大题共70分。17（本小题满分12分）【解析】（1）因为，令，则，又，所以， 2分对两边同时除
8、以，得， 4分又因为，所以是首项为，公差为的等差数列，5分所以，故； 6分（2）由（1）得： 7分所以，则两式相减得10分 所以故 12分18. （本小题满分12分）【解析】（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为：的频率为：；的频率为：；的频率为：；的频率：；的频率为：，. 4分（2）根据题意得每个学生圆锥曲线的选填题的训练的质量指标值位于内的概率为， 5分所以，的可能取值为：0，1，2，3，4， 10分的分布列为：0123411分. 12分19. （本小题满分12分）【解析】（1）因为四棱柱为直四棱柱，所以， 1分又已知，所以点为的中点， 2分又，且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
9、 3分又在平面中，在平面中，由面面平行的判定定理的推论知平面平面，又平面，所以平面 5分（2）由（1）知点为的中点，所以为的边上的中线，而，所以由在一个三角形中，如果一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形为直角三角形，且这边所对的角为直角知，为直角三角形，且为直角，故，又在直四棱柱中，底面，所以两两互相垂直，则建立空间直角坐标系如图所示， 7分则，设平面的一个法向量为，又，则由得，即，令，则，所以 9分同理，设平面的一个法向量为，又，则由得，即，令，则，所以， 10分所以， 11分设二面角的平面角为，则，故所求二面角的正弦值为 12分20. （本小题满分12分）【解析】（1）因为为直角三角形
10、，所以，则， 2分又，所以，又，所以，则， 4分，故椭圆的标准方程为 5分（2）因为抛物线的焦点坐标为，所以点的坐标为，设， 又因为若直线与轴重合，7分若直线不与轴重合，设直线的方程为，则，消去得，所以，则由两点间的距离公式有，同理， 9分所以，因为，所以，所以， 11分综上可知，即的取值范围是 12分21. （本小题满分12分）【解析】（1）因为，故在点处的切线斜率为，点为，故所求的切线方程为3分（2）令，的定义域为， 4分 当时，恒成立，在上单调递减，当时，恒成立，在上单调递增，当时，恒成立， 6分故当时，； 7分（3）由，即，则设，的定义域为，设，的定义域为， 当时，恒成立，在上单调递减
11、，又，存在唯一的使得， 9分当时，则，在上单调递增，当时，则，在上单调递减， 在处取得极大值也是最大值，从而又， 11分在与上各有一个零点，即当时，方程有且仅有个实数根12分22（本小题满分10分）【解析】（1）由，得，因为，所以，即，又，所以，即曲线的极坐标方程为； 3分因为直线的极坐标方程为，即，又，所以直线的直角坐标方程为。5分（2）因为，由（1）知曲线的普通方程为（）；它与轴的交点为， 7分又直线的直角坐标方程为，故由点到直线的距离公式有：曲线与轴的交点到直线的距离。 9分故所求的圆的方程为 10分23（本小题满分10分）【解析】（1）由不等式可得，可化为或或解得或或，综上不等式的解集为5分（2）因为，当且仅当，即时，等号成立故当时， 7分法一：又当取最小值时，即，所以，即， 9分解得，故所求m的取值范围 10分法二： 又，故所求m的取值范围10分
