1、专题十三 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、诱导公式 本章内容较为基础,但是众多的诱导公式以及三角函数图象变换却让人头疼.在高考中的命题一般也比较简单,属于典型的“送分题”.对于这种类型的题目,我们要做到快速、准确、完整解答,为解决试卷的其他较难题挤出时间.当然,解以三角形为背景的解答题的扣分点也是很多的,往往最后的结果正确,解题过程却漏洞百出.为了能够在高考中快速拿到本部分题的满分,在平时复习中应做到:(1)熟练地掌握三角函数的各种诱导公式,这是我们进行运算的基础,必须认真对待;(2)在平时学习中不要轻视三角函数题,即使题目很多,也不要跳过,而且要把过程写完整,再与标准答案对比,从而找
2、出自己解题过程的不足之处,并将其记录下来,这样才能在考试中做到不丢一分;(3)在本章的查错机制中,将已化简的函数代入特殊的自变量的值使得函数取得最大值或最小值,再将自变量的值代入题目未化简的函数中,检查两次结果是否一样,从而判断自己是否计算准确.北京大学国际关系学院 徐情桐 考点28 考点29 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点28三角函数的概念(2014课标,理6)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在0,的图象大致为()【答案】C
3、由题意|OM|=|cos x|,f(x)=|OM|sin x|=|sin xcos x|=|sin 2x|,由此可知C正确.12 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点28 考点29 1.弧度制(1)角度制与弧度制的互化.1=180 rad,1 rad=180 57.30=5718.(2)弧长及扇形面积公式.弧长公式:l=|r,扇形面积公式:S=12lr=12|r2.2.角的概念的推广与 终边相同的角:|=+2k,kZ,熟记以下角的集合:终边落在 x 轴上的角:|=k,kZ,终边落在 y 轴上的角:=2+,Z,终边落在坐标轴上的角:=12,Z,终边落在 角终边所在直线上的角:|=+k,k
4、Z.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点28 考点29 3.三角函数定义(1)若已知角 的终边上异于原点的点的坐标 A(x,y),在求角 的三角函数值时,则应先求|OA|=r=2+2,再利用定义 sin=,cos=,tan=求解.(2)三角函数在各象限的符号记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点28 考点29 典例导引 1(1)已知角 的终边经过点 P(-x,-6),且 cos=-513,则 1sin+1tan=.(2)(2017 广东湛江调研)如图,角 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点 A(x1,y1),角=+23 的
5、终边与单位圆交于点B(x2,y2),记 f()=y1-y2.若角 为锐角,则 f()的取值范围是 .试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点28 考点29【解析】(1)角 的终边经过点 P(-x,-6),且 cos=-513,cos=-2+36=-513,即 x=52或 x=-52(舍去),P-52,-6,sin=-1213.tan=sincos=125,则 1sin+1tan=-1312+512=-23.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点28 考点29(2)由题意可知 y1=sin,y2=sin=sin +23 ,所以 f()=y1-y2=sin-sin +23 =sin+12
6、sin-32 cos=32sin-32 cos=3sin-6.又因为 为锐角,即 02,所以-6-6 3,则-32 f()0,a1)的图象恒过点P,若角的终边经过点P,则sin2-sin 2的值等于 .【答案】-313【解析】因为函数 y=loga(x-1)+3 恒过点 P,所以可令 x=2,得 y=3,所以点 P 的坐标为(2,3).所以 sin=3 22+32=3 13,cos=2 22+32=2 13.所以 sin2-sin 2=913-2 3 13 2 13=-313.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点28 考点29 考点29同角三角函数的基本关系、诱导公式 1.(2016
7、课标,理 5)若 tan=34,则 cos2+2sin 2=()A.6425B.4825C.1D.1625【答案】A(方法 1)由 tan=34,得 cos2+2sin 2=cos2+4sincoscos2+sin2=1+4tan1+tan2=1+4341+34 2=42516=6425.故选 A.(方法 2)tan=34,3cos=4sin,即 9cos2=16sin2.又 sin2+cos2=1,9cos2=16(1-cos2),cos2=1625.cos2+2sin 2=cos2+4sin cos=cos2+3cos2=4cos2=41625=6425,故选 A.试做真题 高手必备 萃取
8、高招 对点精练 考点28 考点29 2.(2014 安徽,理 6)设函数 f(x)(xR)满足 f(x+)=f(x)+sin x.当 0 xbcB.bca C.cbaD.cab【答案】C a=sin 33,b=cos 55=sin 35,c=tan 35=sin35cos35,sin35cos35sin 35sin 33.cba,选 C.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点28 考点29 4.(2013 课标,理 15)设 为第二象限角,若 tan +4=12,则 sin+cos=.【答案】-105【解析】由 tan +4=1+tan1-tan=12,得 tan=-13,即 sin=-
9、13cos.将其代入 sin2+cos2=1,得109 cos2=1.因为 为第二象限角,所以 cos=-3 1010,sin=1010,sin+cos=-105.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点28 考点29 1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系:sin2+cos2=1.(2)商数关系:tan=sincos 2+,Z.2.诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2k+(kZ)+-2-2+正弦 sin -sin -sin sin cos cos 余弦 cos -cos cos -cos sin -sin 正切 tan tan -tan -tan 口诀 奇变偶不变,符号看象
10、限 试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点28 考点29 典例导引 2(1)已知 tan=-43,则 2sin2+sin cos-3cos2 的值为 .(2)已知 sin+cos=43,0,4,则 sin-cos 的值为 .(3)已知 是第二象限角,化简:1-cos4-sin41-cos6-sin6=.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点28 考点29【解析】(1)方法一:sin2+cos2=1,cos 0,原式=2sin2+sincos-3cos2sin2+cos2=2tan2+tan-3tan2+1=2-43 2-43-3-43 2+1=-725.方法二:tan=-43,co
11、s 0.原式=cos22sin2+sincos-3cos2cos2=cos2(2tan2+tan-3)=2tan2+tan-31+tan2=2-43 2-43-3-43 2+1=-725.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点28 考点29(2)因为(sin+cos)2=sin2+cos2+2sin cos=1+2sin cos=169,所以 2sin cos=79,则(sin-cos)2=sin2+cos2-2sin cos=1-2sin cos=29.又因为 0,4,所以 sin cos,即 sin-cos 0,且 a1)的图象过定点 A,且角 以 x 轴的正半轴为始边,以坐标原点为
12、顶点,终边过点 A,则 2sin(2 015+)sin +2+cos2(+2 016)-sin2(-)的值是 .(3)(2017 河北唐山模拟)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知 acos Acos B-bsin2A-ccos A=2bcos B,则 B=.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点28 考点29【解析】(1)cos 6-=cos 2-3-=cos 2-3+=sin 3+,cos 3+=1-sin2 3+=13.(2)由函数 y=ax+1+2 的图象过定点 A(-1,3),则 tan=-3.2sin(2 015+)sin +2+cos2(+2 016
13、)-sin2(-)=-2sin cos+cos2-sin2=-2sincos+cos2-sin2sin2+cos2=-2tan+1-tan2tan2+1=-2(-3)+1-910=-15.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点28 考点29(3)由正弦定理,得sin Acos Acos B-sin Bsin2A-sin Ccos A=2sin Bcos B,即sin A(cos Acos B-sin Bsin A)-sin Ccos A=2sin Bcos B.所以sin Acos(A+B)-sin Ccos A=2sin Bcos B,即-sin Acos C-sin Ccos A=2
14、sin Bcos B.化简得-sin(A+C)=2sin Bcos B,即-sin B=2sin Bcos B,而sin B0,所以 cos B=-12,得 B=23.【答案】(1)13(2)-15(3)23试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点28 考点29 高招3诱导公式的应用技巧技巧 解 读 典例指引 善于观察,寻找角的关系 如 23-+3+=,3+6-=2,用 3+搭“桥”,沟通了 23-与 6-之间的关系.对于这类问题,一般可将要求的式子中的角用已知式子中的角来表示 典例导引3(1)巧妙过渡,将角合理转化(1)“负化正”,运用-的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函
15、数.(2)“大化小”,利用 k360+(kZ)的诱导公式将大于 360的角的三角函数化为 0到 360的三角函数.(3)“小化锐”,将大于 90的角化为 0到90的角的三角函数 典例导引3(2)试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点28 考点29 技巧 解 读 典例指引 灵活应用,探求三角形中角的关系 在ABC 中,因为 A+B+C=,结合诱导公式可得到以下常用结论:sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C,sin 2+2=cos2,cos 2+2=sin2 典例导引3(3)试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点28 考点29 1
16、.(2017 广东郴州二测)已知 0,6,sin +3=1213,则cos 6-=()A.512B.1213C.-513D.-1213【答案】B 因为 sin +3=cos 2-+3 =1213,所以 cos 6-=1213,故选 B.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点28 考点29 2.(2017 湖北襄阳模拟)若角 的终边在第一象限,则sin2 sin2+cos2 cos2 的取值集合为()A.-2,2B.0,2C.2D.0,-2,2【答案】A 因为角 的终边在第一象限,所以角2的终边在第一象限或第三象限,所以sin2 sin2+cos2 cos2=2,故选 A.试做真题 高手必
17、备 萃取高招 对点精练 考点28 考点29 3.(2017 湖北孝感一联)若 tan +4=-3,则 cos2+2sin 2=()A.95B.1C.-35D.-75【答案】A 由 tan +4=1+tan1-tan=-3,解得 tan=2.所以 cos2+2sin 2=cos2+4sincossin2+cos2=1+4tantan2+1=95.故选 A.试做真题 高手必备 萃取高招 对点精练 考点28 考点29 4.若 1sin+1cos=3,则 sin cos=()A.-13B.13C.-13或 1D.13或-1【答案】A 由 1sin+1cos=3,可得 sin+cos=3sin cos,两边平方,得 1+2sin cos=3sin2cos2,解得 sin cos=-13或 sin cos=1.由题意,知-1sin 1,-1cos 1,且 sin 0,cos 0,所以 sincos 1,故选 A.
