1、11集合11.1集合新课程标准解读核心素养1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合之间的属于关系数学抽象、逻辑推理2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合数学抽象3.在具体情境中，了解空集的含义数学抽象第一课时集合与元素中华人民共和国第十三届全国人民代表大会第四次会议于2021年3月8日下午3时，在北京人民大会堂召开第二次全体会议问题与会的人大代表能否构成一个集合？知识点一元素与集合的相关概念1集合：把一些对象放在一起考虑时，这些对象组成了一个集合或集通常用大写拉丁字母表示，如A，B，表示集合2元素：这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素通常用小写拉丁字母
2、表示，如a，b表示元素3集合中元素的三个基本属性互异性同一集合中的元素是互不相同的确定性集合中的元素是确定的，亦即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的无序性集合中的元素没有顺序1集合是一个原始的、不加定义的概念，就像几何中点、线的概念一样，只作描述性说明2集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象 1集合中的元素只能是数、点、代数式吗？提示：集合中的元素可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等2某班所有的高个子男生能否构成一个集合？提示：某班所有的高个子男生不能构
3、成集合，因为高个子男生没有明确的标准1用“school”中的字母构成的集合中元素的个数为()A3B4C5 D6解析：选C由集合中元素的互异性可知，该集合中共有“s”“c”“h”“o”“l”5个元素2给出下列说法，其中正确的序号是_在一个集合中可以找到两个相同的元素；好听的歌能组成一个集合；高一(1)班所有姓氏能构成集合解析：错误，集合中的元素是互不相同的；错误，好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合；正确，高一(1)班的姓氏是确定的，所以能构成集合答案：知识点二元素与集合的关系表达集合和它的元素之间的归属关系的符号是.(1)属于：若S是一个集合，a是S的一个元素，记作“aS”，读作：
4、“a属于S”；(2)不属于：若a不是S的元素，记作aS(或aS)读作“a不属于S”1元素与集合之间有第三种关系吗？提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“aA”与“aA”这两种关系2符号“”“”的左边可以是集合吗？提示：“”和“”具有方向性，左边是元素，右边是集合，所以左边不可以是集合1已知集合A中含有两个元素a3和2a1，若3A，则实数a的值为_解析：3A，3a3或32a1.若3a3，则a0.此时集合A中含有两个元素3，1，符合题意；若32a1，则a1，此时集合A中含有两个元素4，3，符合题意综上所述，实数a的值为0或1.答案：0或12设集合A表示“110以内的所有素数”，3，4这两个元
5、素与集合A有什么关系？如何用数学语言表示？解：3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3A；4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4A.知识点三常见的数集及符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN与N有何区别？提示：N是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N多一个元素0.下列元素与集合的关系判断正确的是_(填序号)0N；Q；Q；1Z；R.解析：N表示自然数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，R表示实数集，故0N，Q，Q，1Z，R.答案：知识点四集合的分类1有限集：元素个数有限的集合(或有穷集)2无限集：元素无限多的集合叫无限集(或无穷集)3空集
6、：没有元素的集合叫空集记作，空集也是有限集下列集合中_是有限集，_是无限集，_空集(填序号)(1)由小于8的正奇数组成的集合；(2)由大于5且小于20的实数组成的集合；(3)由小于0的自然数组成的集合解析：(1)因为小于8的正奇数为1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集(2)因为大于5且小于20的实数有无数个，所以其组成的集合是无限集(3)因为小于0的自然数不存在，所以其组成的集合是空集，含有0个元素，所以其组成的集合是有限集答案：(1)(3)(2)(3)集合的概念例1(多选)判断下列每组对象，能组成一个集合的是()A某校高一年级成绩优秀的学生B直角坐标系中横、纵坐标相等的点C不小于3的自然
7、数D2018年第23届冬季奥运会金牌获得者解析A中“成绩优秀”没有明确的标准，所以不能组成一个集合；B、C、D中的对象都满足确定性，所以能组成集合答案BCD判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合同时还要注意集合中元素的互异性、无序性 跟踪训练(多选)下列给出的对象中不能组成集合的是()A著名物理学家B全世界的富豪C学习刻苦的人 D小于8的所有素数解析：选ABC只有选项D有明确的标准，能组成一个集合元素与集合的关系例2(链接教科书第3页例1)(1)(多选)由不超过5的实数组成集合A，a，则(
8、)AaA Ba2AC.A Da1A(2)若集合A中的元素x满足N，xN，则集合A中的元素为_解析(1)a45，所以aA.a115，所以a1A，a2()22()2525，所以a2A，5，所以A.(2)由题意可得：x为自然数，所以可以为2，3，6，因此x的值为2，1，0.因此A中元素有2，1，0.答案(1)ACD(2)2，1，0判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：使用前提：集合中的元素是直接给出的；判断方法：首先明确集合由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可；(2)推理法：使用前提：对于某些不便直接表示的集合；判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否
9、满足集合中元素所具有的特征即可 跟踪训练用，填空：已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：17_A，5_A.解析：由题意可设x3k2，kZ，令3k217得，k5Z.所以17A.令3k25得，kZ.所以5A.答案：元素特性的应用例3已知集合A含有两个元素a和a2，若1A，则实数a的值为_解析若1A，则a1或a21，即a1.当a1时，集合A有重复元素，不符合元素的互异性，a1；当a1时，集合A含有两个元素1，1，符合元素的互异性a1.答案1母题探究1(变条件)本例若将条件“1A”改为“2A”，其他条件不变，求实数a的值解：因为2A，所以a2或a22，即a2或a或a.经检验符合元素的互异性2(
10、变条件)本例若去掉条件“1A”，其他条件不变，则实数a的取值范围是什么？解：因为A中有两个元素a和a2，所以aa2，解得a0且a1.3(变条件)已知集合A含有两个元素1和a2，若aA，求实数a的值解：由aA可知，当a1时，此时a21，与集合元素的互异性矛盾，所以a1.当aa2时，a0或a1(舍去)综上可知，a0.根据集合中元素的特性求值的三个步骤 跟踪训练1若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A梯形 B平行四边形C菱形 D矩形解析：选AA中元素a，b，c，d各不相等，所以四边形只可能是梯形2集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若P
11、与Q相等，则a_解析：由题意知a24，即a2.答案：21(多选)下列结论中，正确的是()A若aN，则N B若aZ，则a2ZC若aQ，则|a|Q D若aR，则R解析：选BCDA不正确反例：a1N，1N.2下列说法正确的是()A某班中年龄较小的同学能够组成一个集合B由1，2，3和 ，1，组成的集合不相等C不超过20的非负数组成一个集合D方程(x1)(x1)20的所有解组成的集合中有3个元素解析：选CA项中元素不确定B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等D项中方程的解分别是x11，x2x31.由互异性知，构成的集合含2个元素3已知集合S中的三个元素a，b，c是ABC的三条边长，那么ABC一定不是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰三角形解析：选D因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边长两两不相等，故选D.4已知集合P中元素x满足：xN，且2xa，又集合P中恰有三个元素，则整数a_解析：xN，2xa，且集合P中恰有三个元素，易知a6.答案：6
