1、区（县级市） 学校 考生号 姓名 密 封 线 内 不 要 答 题2002年广州市高中数学青年教师解题比赛试卷2002.04.07 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分全卷共5页，满分为150分考试时间120分钟 第I卷（选择题共60分）参考公式：三角函数和差化积公式 正棱台、圆台的侧面积公式 其中、分别表示 上、下底面周长，l表示斜高或母线长 台体的体积公式： 其中、分别表示上、下底面积，h表示高题号一二三总 分171819202122分数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的每小题选出答案后，请填下表中.题号123
2、456789101112答案（1）常数T满足和,则T的一个值是（ ） （A） （B） （C） （D）（2）在等差数列中，,则的值为（ ） （A）24 （B）22 （C）20 （D）（3）设点P对应复数是,以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则点P的极坐标为（ ）（A） （B） （C） （D）（4）设A、B是两个非空集合，若规定：,则等于（ ）（A） （B） （C） （D）（5）函数的图象与直线的交点个数为（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）0或1（6）设函数（其中）,则是为奇函数的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（7
3、）如图，在斜三棱柱中，BAC90，过作底面ABC，垂足为，则（ ） （A）在直线AC上 （B）在直线AB上 （C）在直线BC上 （D）在ABC内（8）电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元；超过3分钟，以后每增加1分钟收费0.1元，不足1分钟以1分钟收费.则通话收S（元）与通话时间t（分钟）的函数图象可表示为（ ）（A） （B） （C） （D）（9）以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（ ）（A） （B） （C） （D）（10）已知的展开式中所有项系数之和为729，则这个展开式中含项的系数是（ ）密 封 线 内 不 要 答 题（A）56 （B）80
4、（C）160 （D）180密 封 线 内 不 要 答 题（11）AB是过圆锥曲线焦点F的弦，l是与点F对应的准线，则以弦AB为直径的圆与直线l的位置关系（ ）（A）相切 （B）相交 （C）相离 （D）由离心率e决定（12）定义在R上的函数的反函数为，则是（ ）（A）奇函数 （B）偶函数 （C）非奇非偶函数 （D）满足题设的函数不存在第II卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中的横线上（13）函数的反函数是 （14）已知抛物线的焦点坐标为，准线方程为,则其顶点坐标为 （15）如图，在棱长都相等的四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则直线
5、AF、CE所成角的余弦值为 （16）甲、乙、丙、丁、戊共5人参加某项技术比赛，决出了第1名到第5名的名次. 甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没拿冠军”，对乙说：“你当然不是最差的.”请从这个回答分析，5人的名次排列共可能有 种不同情况（用数字作答）.区（县级市） 学校 考生号 姓名 密 封 线 内 不 要 答 题三、解答题：本大题共6小题，满分74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（17）（本小题满分10分）已知复数，其中A、C为ABC的内角，且三个内角满足2BAC.试求的取值范围.（18）（本小题满分12分） 已知曲线C上的任一点M（其中）,到点的距离减去它
6、到y轴的距离的差是2，过点A的一条直线与曲线C交于P、Q两点，通过点P和坐标原点的直线交直线于N.（I）求曲线C的方程；（II）求证：NQ平行于x轴.（19）（本小题满分12分） 是否存在一个等差数列,使对任意的自然数n，都有.密 封 线 内 不 要 答 题（20）（本小题满分12分）如图，ABC是一个遮阳棚，点A、B是地面上南北方向的两定点，正西方向射出的太阳（用点O表示）光线OCD与地面成锐角.（I）遮阳棚与地面成多少度的二面角时，才能使遮影ABD面积最大？（II）当AC3，BC4，AB5，30时，试求出遮影ABD的最大面积.区（县级市） 学校 考生号 姓名密 封 线 内 不 要 答 题（21）（本小题满分14分） 甲、乙、丙三种食物维生素A、B含量及成本如下表：项 目甲乙丙维生素A（单位/千克）600700400维生素B（单位/千克）800400500成本（元/千克）1194某食物营养研究所想用x千克甲种食物、y千克乙种食物、z千克丙种食物配成100千克混合物，并使混合物至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.试用x、y表示混合物的成本M（元）；并确定x、y、z的值，使成本最低. （22）（本小题满分14分）定义在上的函数满足：对任意、,都有；当时，有.证明：（I）函数在上的图象关于原点对称； （II）函数在上是单调减函数； （III）.5
