1、选考部分第十五篇几何证明选讲(选修41)第1节相似三角形的判定及有关性质 【选题明细表】知识点、方法题号平行线截割定理及应用4相似三角形的判定与性质1,3直角三角形的射影定理21.如图所示,平行四边形ABCD中,E是CD延长线上的一点,BE与AD交于点F,DE=CD. (1)求证:ABFCEB;(2)若DEF的面积为2,求平行四边形ABCD的面积.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以A=C,ABCD.所以ABF=CEB.所以ABFCEB.(2)解:因为四边形ABCD是平行四边形,所以ADBC,ABCD.所以DEFCEB,DEFABF.因为DE=CD,所以=,=.因为SDEF=2,所
2、以SCEB=18,SABF=8.所以S四边形BCDF=SCEB-SDEF=16.所以S平行四边形ABCD=S四边形BCDF+SABF=16+8=24.2.已知RtABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D,DFAC,垂足为F,DEAB,垂足为E. 求证:(1)ABAC=ADBC;(2)AD3=BCBECF.证明:(1)因为BAC=90,ADBC,所以BAC=ADB,又因为B=B,所以ABDCBA,所以=,即ABAC=ADBC.(2)由题AD2=BDDC,所以AD4=BD2DC2=BEBACFCA=BECFADBC,所以AD3=BCBECF.3.如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BECD,垂
3、足为E,连接AE,F为AE上一点,且BFE=C. (1)求证:ABFEAD;(2)若BAE=30,AD=3,求BF的长.(1)证明:因为ABCD,所以BAF=AED.又因为BFE=C,BFE+BFA=C+EDA,所以BFA=ADE.所以ABFEAD.(2)解:因为BAE=30,所以AEB=60,所以=sin 60=,又=,所以BF=AD=.4.如图所示,梯形ABCD中,ADBC,EF经过梯形对角线的交点O,且EFAD. (1)求证:OE=OF;(2)求:+的值;(3)求证:+=.(1)证明:因为EFAD,ADBC,所以EFADBC.因为EFBC,所以=,=.因为EFADBC,所以=.所以=,所以OE=OF.(2)解:因为OEAD,所以=.由(1)知=,所以+=+=1.(3)证明:由(2)知+=1,所以+=2.又EF=2OE,所以+=2,所以+=.
