1、第六篇数列(必修5)第1节数列的概念与简单表示法【选题明细表】知识点、方法题号观察法求通项公式1,7递推公式的应用3,4,8,12,13an与Sn的关系2,9,10数列的单调性、最值5,11综合问题6,14基础对点练(时间:30分钟)1.(2016宜春校级模拟)已知数列,则5是它的(C)(A)第19项(B)第20项(C)第21项(D)第22项解析:数列,中的各项可变形为:,所以通项公式为an=,令=5,得n=21.2.设数列an的前n项和Sn=n2,则a8的值为(A)(A)15(B)16(C)49(D)64解析:由a8=S8-S7=64-49=15.3.(2016临潼区校级模拟)数列an满足a
2、n+1=若a1=,则a2 015等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为a1=,所以a2=2a1-1=,所以a3=2a2=,a4=2a3=,所以a5=2a4-1=.所以an+4=an,所以a2 015=a4503+3=a3=.4.(2015吉林校级模拟)已知a1=1,an+1=,则数列an的通项为an等于(C)(A)(B)2n-1(C)(D)3n-2解析:因为an+1=,所以3an+1an=an-an+1,两边同除以an+1an得3=-,由a1=1,所以=1,所以数列是首项为1,公差为3的等差数列,所以=1+3(n-1)=3n-2,所以an=.5.设an=-3n2+15n-18,则数列an
3、中的最大项的值是(D)(A)(B)(C)4(D)0解析:an=-3(n-)2+,由二次函数性质,得当n=2或n=3时,an取最大值,最大值为a2=a3=0.6.(2015衢州模拟)数列an满足an=n2+kn+2,若不等式ana4恒成立,则实数k的取值范围是(B)(A)-9,-8(B)-9,-7(C)(-9,-8)(D)(-9,-7)解析:an=n2+kn+2=(n+)2+2-,因为不等式ana4恒成立,所以3.5-4.5,解得-9k-7.7.(2016宜昌模拟)已知数列ln 3,ln 7,ln 11,ln 15,则2ln 5+ln 3是该数列的第项.解析:由数列3,7,11,15,可知此数列
4、的通项公式为an=ln(4n-1).令2ln 5+ln 3=ln(4n-1),所以75=4n-1,解得n=19.所以2ln 5+ln 3是该数列的第19项.答案:198.(2016濮阳一模)已知数列an中,a1=20,an+1=an+2n-1,nN*,则数列an的通项公式an=.解析:因为数列an中,a1=20,an+1=an+2n-1,nN*,所以a2=a1+1,a3=a2+3,a4=a3+5,an=an-1+2n-3;上式累加可得an=a1+1+3+5+(2n-3)=20+=n2-2n+21.答案:n2-2n+219.(2016云南玉溪一中高三期中)数列an的通项an=n2(cos2-si
5、n2),其前n项和为Sn,则S30为.解析:因为an=n2(cos2-sin2)=n2cos,所以S30=12cos+22cos+32cos 2+302cos 20 =-1-22+32-42-52+62+-282-292+302=-(12+22-232)+(42+52-262)+(282+292-2302)=-(12-32)+(42-62)+(282-302)+(22-32)+(52-62)+(292-302)=-2(4+10+16+58)-(5+11+17+59)=-210-10=470.答案:47010.若数列an的前n项和Sn满足:Sn=2an+1.(1)求a1,a2,a3;(2)求an
6、的通项公式.解:(1)因为Sn=2an+1.所以当n=1时,S1=a1=2a1+1,所以a1=-1;同理可得a2=-2;a3=-4.(2)当n2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-2an-1-1=2an-2an-1,所以an=2an-1,即数列an是以a1=-1为首项,公比q=2的等比数列.所以an=-2n-1.能力提升练(时间:15分钟)11.(2016山东模拟)设函数f(x)=数列an满足an=f(n),nN+,且数列an是递增数列,则实数a的取值范围是(B)(A)(1,3)(B)(2,3)(C)(,3)(D)(1,2)解析:因为f(x)=数列an满足an=f(n),nN+,且数列an是递增数列所以解得即2a0,an0,解得n6或n6(nN*)时,an0.令n2-n-300,nN*,解得0n6,nN*.所以当0n6(nN*)时,an0.(3)Sn存在最小值,不存在最大值.由an=n2-n-30=-30,(nN*)知an是递增数列,且a1a2a5a6=0a7a8a90,则-x0,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x (1+x)=x(1+x).由a1=,且an+1=,所以a2=2,a3=-1,a4=.所以数列an是以3为周期的周期数列,则a11=a33+2=a2=2.所以f(a11)=f(2)=2(2+1)=6.
