1、2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第一卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么。如果事件A、B相互独立，那么。柱体（棱柱、圆柱）的体积公式。其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高。一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. i是虚数单位，= A. B. C. D. 2. 不等式的解集为A. B. C. D. 3. 若平面向量与向量的夹角是，且，则 A. B. C. D. 4. 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则 A. 1或5B. 6C.
2、 7D. 95. 若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则a= A. B. C. D. 6. 如图，在棱长为2的正方体中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是、AD的中点，那么异面直线OE和所成的角的余弦值等于A. B. C. D. 7. 若为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是A. B. C. D. 8. 已知数列，那么“对任意的，点都在直线上”是“为等差数列”的A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 函数为增函数的区间是 A. B. C. D. 10. 如图，在长方体中，AB=6，AD=4，。分别过BC、 的两个平行截面将长方体分成三部
3、分，其体积分别记为，。若，则截面 的面积为A. B. C. D. 1611. 函数（）的反函数是A. B. C. D. 12. 定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，则的值为A. B. C. D. 第二卷（非选择题 共90分）二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。13. 某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件。那么此样本的容量n= 。14. 如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数a的取值范围是 。15. 若，则 。（用数字作答）16. 从
4、1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 个。（用数字作答）三. 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. （本小题满分12分） 已知，（1）求的值；（2）求的值。18. （本小题满分12分） 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数。 （1）求的分布列；（2）求的数学期望；（3）求“所选3人中女生人数”的概率。19. （本小题满分12分） 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，
5、作EFPB交PB于点F。 （1）证明PA/平面EDB；（2）证明PB平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小。20. （本小题满分12分） 已知函数在处取得极值。 （1）讨论和是函数的极大值还是极小值；（2）过点作曲线的切线，求此切线方程。21. （本小题满分12分） 已知定义在R上的函数和数列满足下列条件： ，其中a为常数，k为非零常数。（1）令，证明数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）当时，求。22. （本小题满分14分） 椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点。 （1）求椭圆的
6、方程及离心率；（2）若，求直线PQ的方程；（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明。2004年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分。15 DAACA 610 BABCC 1112 DD二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。13. 8014. 15. 200416. 300三. 解答题：17. 本小题考查两角和正切线，倍角的正弦、余弦公式等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。 （1）解： 由，有 解得（2）解法一：解法二：由（1），得 于是，代入得18.
7、 本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。 （1）解：可能取的值为0，1，2。 。所以，的分布列为012P（2）解：由（1），的数学期望为（3）解：由（1），“所选3人中女生人数”的概率为19. 本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力，满分12分。 方法一： （1）证明：连结AC，AC交BD于O，连结EO。 底面ABCD是正方形，点O是AC的中点 在中，EO是中位线，PA / EO 而平面EDB且平面EDB， 所以，PA / 平面EDB（2）证明：PD底面ABCD且底面ABCD，PD=D
8、C，可知是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，。 同样由PD底面ABCD，得PDBC。底面ABCD是正方形，有DCBC，BC平面PDC。而平面PDC，。 由和推得平面PBC。而平面PBC，又且，所以PB平面EFD。（3）解：由（2）知，故是二面角CPBD的平面角。由（2）知，。设正方形ABCD的边长为a，则， 。在中，。在中，。所以，二面角CPBD的大小为。方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设。（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG。依题意得。底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，故点G的坐标为且。，这表明PA/EG。而平面EDB且平面EDB，PA/平面EDB。
9、（2）证明；依题意得，。又，故。由已知，且，所以平面EFD。（3）解：设点F的坐标为，则。从而。所以。由条件知，即，解得点F的坐标为，且，即，故是二面角CPBD的平面角。，且，。所以，二面角CPBD的大小为。20. 本小题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力。满分12分。 （1）解：，依题意，即 解得。 。 令，得。若，则，故在上是增函数，在上是增函数。若，则，故在上是减函数。所以，是极大值；是极小值。（2）解：曲线方程为，点不在曲线上。设切点为，则点M的坐标满足。因，故切线的方程为注意到点A（0，16）在切线上，有化简得，解得。所以，
10、切点为，切线方程为。21. 本小题主要考查函数、数列、等比数列和极限等概念，考查灵活应用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分12分。 （1）证明：由，可得。 由数学归纳法可证。 由题设条件，当时 因此，数列是一个公比为k的等比数列。（2）解：由（1）知，当时，当时， 。而 所以，当时 。上式对也成立。所以，数列的通项公式为当时 。上式对也成立，所以，数列的通项公式为 ，（2）解：当时22. 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分14分。 （1）解：由题意，可设椭圆的方程为。 由已知得解得所以椭圆的方程为，离心率。（2）解：由（1）可得A（3，0）。设直线PQ的方程为。由方程组得依题意，得。设，则， 。 由直线PQ的方程得。于是。 ，。 由得，从而。所以直线PQ的方程为或（2）证明：。由已知得方程组注意，解得因，故。而，所以。8
