1、2004年高考试题全国卷理科数学（必修选修）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）已知集合Mx|x24，Nx|x22x30，则集合MN（A）x|x2 （B）x|x3（C）x|1x2 （D）x|2x3（2）（A） （B）1（C） （D）（3）设复数i，则1（A） （B）2（C） （D）（4）已知圆C与圆(x1)2y21关于直线yx对称，则圆C的方程为（A）(x1)2y21（B）x2y21（C）x2(y1)21 （D）x2(y1)21（5）已知函数ytan(2x)的图象过点(,0)，则可以是（A）（B）（C） （D）（6）函数
2、yex的图象（A）与yex的图象关于y轴对称（B）与yex的图象关于坐标原点对称（C）与yex的图象关于y轴对称（D）与yex的图象关于坐标原点对称（7）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心O到平面ABC的距离为（A）（B） （C） （D）（8）在坐标平面内，与点A(1，2)距离为1，且与点B(3，1)距离为2的直线共有（A）1条 （B）2条（C）3条（D）4条（9）已知平面上直线的方向向量，点O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分别是O1和A1，则，其中（A）（B）（C）2（D）2（10）函数yxcosxsinx在下面哪个区间内是增函数（A）(，)（
3、B）(，2) （C）(，) （D）(2，3)（11）函数ysin4xcos2x的最小正周期为（A）（B）（C）（D）2（12）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（A）56个（B）57个（C）58个（D）60个二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上（13）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有个红球，则随机变量的概率分布为012P（14）设x，y满足约束条件则z3x2y的最大值是 （15）设中心在原点的椭圆与双曲线2x22y21有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是 （1
4、6）下面是关于四棱柱的四个命题：若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱，其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)三、 解答题：本大题共6个小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（17） (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC中，sin(AB)，sin(AB)()求证：tanA2tanB；()设AB3，求AB边上的高（18）(本小题满分12分)已知8个球队中有3个弱队，以抽签方式将这8个球队分为A、B两组，每组4个求
5、()A、B两组中有一组恰有两个弱队的概率；()A组中至少有两个弱队的概率（19）(本小题满分12分)数列an的前n项和记为Sn，已知a11，an1Sn（n1，2，3，）证明：()数列是等比数列；()Sn14an（20）(本小题满分12分) 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB90o，AC1，CB，侧棱AA11，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M()求证：CD平面BDM；()求面B1BD与面CBD所成二面角的大小（21）(本小题满分12分) 给定抛物线C：y24x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点()设l的斜率为1，求与夹角的大小；()设，若4，9，
6、求l在y轴上截距的变化范围(22)(本小题满分14分)已知函数f(x)ln(1x)x，g(x)xlnx(1)求函数f(x)的最大值；(2)设0ab，证明：0g(a)g(b)2g()(ba)ln22004年高考试题全国卷2 理科数学（必修选修）答案：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分（1）C （2）A （3）C （4）C （5）A （6）D （7）B （8）B （9）D （10）B （11）B （12）C 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分（13）0.1，0.6，0.3 （14）5 （15）x2y21 （16）17(I)证明：sin(A+B)=,sin(A-B)=，
7、.(II)解：A+B, , , 即,将代入上式并整理得解得,因为B为锐角，所以, =2+设AB上的高为CD，则AB=AD+DB=，由AB=3得CD=2+故AB边上的高为2+18(I) 解：有一组恰有两支弱队的概率(II)解：A组中至少有两支弱队的概率19（I）证： 由a1=1,an+1=Sn(n=1,2,3，)，知a2=S1=3a1, ,又an+1=Sn+1-Sn(n=1,2,3，),则Sn+1-Sn=Sn(n=1,2,3，)，nSn+1=2(n+1)Sn, (n=1,2,3，).故数列是首项为1，公比为2的等比数列（II）解：由（I）知，于是Sn+1=4(n+1)=4an(n)又a2=3S1
8、=3,则S2=a1+a2=4=4a1,因此对于任意正整数n1都有Sn+1=4an. 20解法一：(I)如图，连结CA1、AC1、CM，则CA1=，CB=CA1=，CBA1为等腰三角形，又知D为其底边A1B的中点，CDA1B，A1C1=1，C1B1=，A1B1=，又BB1=1，A1B=2，A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，CD=A1B=1，CD=CC1又DM=AC1=，DM=C1M，CDNCC1M，CDM=CC1M=90,即CDDM，因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD平面BDM(II)设F、G分别为BC、BD的中点，连结B1G、FG、B1F，则FGCD，FG=CDFG=，
9、FGBD.由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D,知BD=B1D=A1B=1，所以BB1D是边长为1的正三角形，于是B1GBD，B1G=，B1GF是所求二面角的平面角又B1F2=B1B2+BF2=1+()2=.cosB1GF=即所求二面角的大小为-arccos解法二：如图以C为原点建立坐标系(I):B(,0,0),B1(,1,0),A1(0,1,1),D(,),M(,1,0),(,),(,-1,-1),(0,-), CDA1B,CDDM.因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD平面BDM(II):设BD中点为G，连结B1G，则G(-,)，BDB1G，又CDBD，与的夹角等于所求二
10、面角的平面角，cos所以所求二面角的大小为-arccos21解：（I）C的焦点为F(1,0)，直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1.将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则有x1+x2=6,x1x2=1，=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=-3.cos=所以与夹角的大小为-arccos.解：(II)由题设知得：(x2-1,y2)=(1-x1,-y1)，即由 (2)得y22=2y12, y12=4x1,y22=4x2,x2=2x1(3)联立(1)(3)解得x2=.依题意有0.B(,2
11、)或B(,-2)，又F(1,0),得直线l的方程为(-1)y=2(x-1)或(-1)y=-2(x-1)当4,9时，l在y轴上的截距为或-由=，可知在4，9上是递减的，-直线l在y轴上截距的变化范围是22(I)解：函数f(x)的定义域是(-1,),(x)=.令(x)=0，解得x=0，当-1x0,当x0时,(x)0，又f(0)=0，故当且仅当x=0时，f(x)取得最大值，最大值是0(II)证法一：g(a)+g(b)-2g()=alna+blnb-(a+b)ln=a.由(I)的结论知ln(1+x)-x-1,且x0)，由题设0a-.又 aa综上0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.(II)证法二：g(x)=xlnx,设F(x)= g(a)+g(x)-2g(),则当0xa时因此F(x)在(a,+)上为增函数从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a)因为F(a)=0,ba,所以F(b)0,即00时,因此G(x)在(0,+)上为减函数，因为G(a)=0,ba,所以G(b)0.即g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.
