1、M推理与证明M1合情推理与演绎推理11M12012陕西卷 观察下列不等式1,1,1,照此规律,第五个不等式为_111解析 本小题主要考查了归纳与推理的能力,解题的关键是对给出的几个事例分析,找出规律,推出所要的结果从几个不等式左边分析,可得出第五个式子的左边为:1,对几个不等式右边分析,其分母依次为:2,3,4,所以第5个式子的分母应为6,而其分子依次为: 3,5,7,所以第5个式子的分子应为11,所以第5个式子应为:10),其中r为有理数,且0rg(1)0,从而f(a2)ng(a2)0,进而f(a2)是(0,1)上的增函数,因此f(a2)f(1)n2,所要证的不等式成立当a21时,令b,则0
2、b1,由已知的结论知,两边同时乘以a得所要证的不等式综上,当a21且a20时,有Sn(a1an),当且仅当n1,2或a21时等号成立22B12、M3、M22012湖北卷 (1)已知函数f(x)rxxr(1r)(x0),其中r为有理数,且0r1.求f(x)的最小值;(2)试用(1)的结果证明如下命题:设a10,a20,b1,b2为正有理数若b1b21,则ab11ab22a1b1a2b2;(3)请将(2)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题注:当为正有理数时,有求导公式(x)x1.22解:(1)f(x)rrxr1r(1xr1),令f(x)0,解得x1.当0x1时,f(x)0,所
3、以f(x)在(0,1)内是减函数;当x1时,f(x)0,所以f(x)在(1,)内是增函数故函数f(x)在x1处取得最小值f(1)0.(2)由(1)知,当x(0,)时,有f(x)f(1)0,即xrrx(1r)若a1,a2中有一个为0,则ab11ab22a1b1a2b2成立;若a1,a2均不为0,又b1b21,可得b21b1,于是在中令x,rb1,可得b1b1(1b1),即ab11a1b12a1b1a2(1b1),亦即ab11ab22a1b1a2b2.综上,对a10,a20,b1,b2为正有理数且b1b21,总有ab11ab22a1b1a2b2.(3)(2)中命题的推广形式为:若a1,a2,an为
4、非负实数,b1,b2,bn为正有理数若b1b1bn1,则ab11ab22abnna1b1a2b2anbn.用数学归纳法证明如下:当n1时,b11,有a1a1,成立假设当nk时,成立,即若a1,a2,ak为非负实数,b1,b2,bk为正有理数,且b1b2bk1,则ab11ab22abkka1b1a2b2akbk.当nk1时,已知a1,a2,ak,ak1为非负实数,b1,b2,bk,bk1为正有理数,且b1b2bkbk11,此时0bk11,即 1bk10,于是ab11ab22abkkabk1k1(ab11ab22abkk)abk1k1(a1a2ak)1bk1abk1k1.因1,由归纳假设可得a1a
5、2aka1a2ak,从而ab11ab22abkkabk1k11bk1abk1k1.又因(1bk1)bk11,由得1bk1abk1k1(1bk1)ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk1,从而ab11ab22abkkabk1k1a1b1a2b2akbkak1bk1.故当nk1时,成立由可知,对一切正整数n,所推广的命题成立说明:(3)中如果推广形式中指出式对n2成立,则后续证明中不需讨论n1的情况22 D3、M32012全国卷 函数f(x)x22x3.定义数列xn如下:x12,xn1是过两点P(4,5)、Qn(xn,f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标(1)证明:2xnxn13;(2
6、)求数列xn的通项公式22解:(1)用数学归纳法证明:2xnxn13.当n1时,x12,直线PQ1的方程为y5(x4),令y0,解得x2,所以2x1x23.假设当nk时,结论成立,即2xkxk13.直线PQk1的方程为y5(x4),令y0,解得xk2.由归纳假设知xk240,即xk1xk2.所以2xk1xk23,即当nk1时,结论成立由、知对任意的正整数n,2xnxn10”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件2A解析 因“为锐角”,则必有“sin0”,反之“sin0”则不一定为锐角,如120,故选A.32012洛阳检测 给出下面类比推理命题(其中Q为有
7、理数集,R为实数集,C为复数集):“若a,bR,则ab0ab”类比推出“若a,bC,则ab0ab”;“若a,b,c,dR,则复数abicdiac,bd”类比推出“若a,b,c,dQ,则abcdac,bd”;“若a,bR,则ab0ab”类比推出“若a,bC,则ab0ab”其中类比得到的结论正确的个数是()A0 B1C2 D33C解析 是正确的,是错误的因为复数不能比较大小,如a56i,b46i,虽然满足ab10,但复数a与b不能比较大小42012韶关一调 在平面中,ABC的角C的内角平分线CE分ABC面积所成的比.将这个结论类比到空间:在三棱锥ABCD中,平面DEC平分二面角ACDB且与AB交于E,则类比的结论为_图K4514. 解析 此类问题由平面类比空间,应该面积类比体积,长度类比面积,由,类比得.52012枣庄模拟 在平面内有n条直线,其中任何两条直线不平行,任何三条直线都不相交于同一点,则这n条直线把平面分成_部分5. 解析 a12,a24,an1ann1an.高考资源网w w 高 考 资源 网