1、M推理与证明M1合情推理与演绎推理11M12012陕西卷 观察下列不等式1，1，1，照此规律，第五个不等式为_111解析 本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题的关键是对给出的几个事例分析，找出规律，推出所要的结果从几个不等式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1，对几个不等式右边分析，其分母依次为：2,3,4，所以第5个式子的分母应为6，而其分子依次为： 3,5,7，所以第5个式子的分子应为11，所以第5个式子应为：10)，其中r为有理数，且0rg(1)0，从而f(a2)ng(a2)0，进而f(a2)是(0,1)上的增函数，因此f(a2)f(1)n2，所要证的不等式成立当a21时，令b，则0
2、b1，由已知的结论知，两边同时乘以a得所要证的不等式综上，当a21且a20时，有Sn(a1an)，当且仅当n1,2或a21时等号成立22B12、M3、M22012湖北卷 (1)已知函数f(x)rxxr(1r)(x0)，其中r为有理数，且0r1.求f(x)的最小值；(2)试用(1)的结果证明如下命题：设a10，a20，b1，b2为正有理数若b1b21，则ab11ab22a1b1a2b2；(3)请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题注：当为正有理数时，有求导公式(x)x1.22解：(1)f(x)rrxr1r(1xr1)，令f(x)0，解得x1.当0x1时，f(x)0，所
3、以f(x)在(0,1)内是减函数；当x1时，f(x)0，所以f(x)在(1，)内是增函数故函数f(x)在x1处取得最小值f(1)0.(2)由(1)知，当x(0，)时，有f(x)f(1)0，即xrrx(1r)若a1，a2中有一个为0，则ab11ab22a1b1a2b2成立；若a1，a2均不为0，又b1b21，可得b21b1，于是在中令x，rb1，可得b1b1(1b1)，即ab11a1b12a1b1a2(1b1)，亦即ab11ab22a1b1a2b2.综上，对a10，a20，b1，b2为正有理数且b1b21，总有ab11ab22a1b1a2b2.(3)(2)中命题的推广形式为：若a1，a2，an为
4、非负实数，b1，b2，bn为正有理数若b1b1bn1，则ab11ab22abnna1b1a2b2anbn.用数学归纳法证明如下：当n1时，b11，有a1a1，成立假设当nk时，成立，即若a1，a2，ak为非负实数，b1，b2，bk为正有理数，且b1b2bk1，则ab11ab22abkka1b1a2b2akbk.当nk1时，已知a1，a2，ak，ak1为非负实数，b1，b2，bk，bk1为正有理数，且b1b2bkbk11，此时0bk11，即 1bk10，于是ab11ab22abkkabk1k1(ab11ab22abkk)abk1k1(a1a2ak)1bk1abk1k1.因1，由归纳假设可得a1a
5、2aka1a2ak，从而ab11ab22abkkabk1k11bk1abk1k1.又因(1bk1)bk11，由得1bk1abk1k1(1bk1)ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk1，从而ab11ab22abkkabk1k1a1b1a2b2akbkak1bk1.故当nk1时，成立由可知，对一切正整数n，所推广的命题成立说明：(3)中如果推广形式中指出式对n2成立，则后续证明中不需讨论n1的情况22 D3、M32012全国卷 函数f(x)x22x3.定义数列xn如下：x12，xn1是过两点P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标(1)证明：2xnxn13；(2
6、)求数列xn的通项公式22解：(1)用数学归纳法证明：2xnxn13.当n1时，x12，直线PQ1的方程为y5(x4)，令y0，解得x2，所以2x1x23.假设当nk时，结论成立，即2xkxk13.直线PQk1的方程为y5(x4)，令y0，解得xk2.由归纳假设知xk240，即xk1xk2.所以2xk1xk23，即当nk1时，结论成立由、知对任意的正整数n,2xnxn10”成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件2A解析 因“为锐角”，则必有“sin0”，反之“sin0”则不一定为锐角，如120，故选A.32012洛阳检测 给出下面类比推理命题(其中Q为有
7、理数集，R为实数集，C为复数集)：“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”；“若a，b，c，dR，则复数abicdiac，bd”类比推出“若a，b，c，dQ，则abcdac，bd”；“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”其中类比得到的结论正确的个数是()A0 B1C2 D33C解析 是正确的，是错误的因为复数不能比较大小，如a56i，b46i，虽然满足ab10，但复数a与b不能比较大小42012韶关一调 在平面中，ABC的角C的内角平分线CE分ABC面积所成的比.将这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中，平面DEC平分二面角ACDB且与AB交于E，则类比的结论为_图K4514. 解析 此类问题由平面类比空间，应该面积类比体积，长度类比面积，由，类比得.52012枣庄模拟 在平面内有n条直线，其中任何两条直线不平行，任何三条直线都不相交于同一点，则这n条直线把平面分成_部分5. 解析 a12，a24，an1ann1an.高考资源网w w 高 考 资源 网