1、第五节垂直关系授课提示：对应学生用书第135页基础梳理1直线与平面垂直(1)定义：直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直(2)判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫作这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0的角(2)范围：3平面与平面垂直(1)二面角的有关概念：二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成
2、的图形叫作二面角；二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫作二面角的平面角(2)平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l1判定定理的理解若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面ab，ab.2性质定理性质定理2如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的
3、直线，在第一个平面内，P，PQPQ性质定理3如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面l，l四基自测1(基础点：面面垂直性质)下列命题中不正确的是()A如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面B如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么l答案：A2(基础点：线面垂直性质)已知直线a，b和平面，且ab，a，则b与的位置关系为()AbBbCb或b Db与相交答案：C3(基础点：面面垂直的判定)一平面垂直于另一平面的一条平行线，则这两个平面的位置关系是_答案：垂直4(易错点：空
4、间垂直关系的转化与认识)如图所示，在三棱锥VABC中，VABVACABC90，则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为_答案：4授课提示：对应学生用书第136页考点一线面垂直的判定与性质挖掘线面垂直的判定与应用/ 自主练透例(1)(2020河南商丘模拟)如图所示，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是A在PB、PC上的射影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正确命题的序号是_解析由PA平面ABC，BC平面ABC，可得PABC，又AB是圆O的直径，C是圆O上一点，则有BCAC，又PAACA，所以BC平面PAC，又AF平面PAC，所以
5、BCAF，故正确；因为AFPC，PCBCC，所以AF平面PBC，又PB平面PBC，所以AFPB，故正确；因为AEPB，AFPB，AEAFA，所以PB平面AEF，又EF平面AEF，所以PBEF，故正确；由于AF平面PBC，AFAEA，所以AE不与平面PBC垂直，故错误综上可知正确命题的序号为.答案(2)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点求证：CDAE；PD平面ABE.证明在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD底面ABCD，PACD，又ACCD，且PAACA，CD平面PAC.AE平面PAC，CDAE.由PAABBC，AB
6、C60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB底面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE. (3)如图，S是RtABC所在平面外一点，且SASBSC，D为斜边AC的中点求证：SD平面ABC；若ABBC，求证：BD平面SAC.证明如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在RtABC中，D，E分别为AC，AB的中点DEBC，DEAB，SASB，SEAB.又SEDEE，AB平面SDE.又SD平面SDE，ABSD.在SAC中
7、，SASC，D为AC的中点，SDAC.又ACABA，SD平面ABC.ABBC，BDAC，由可知，SD平面ABC，又BD平面ABC，SDBD，又SDACD，BD平面SAC.破题技法证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理：在平面内找两条相交直线与该直线垂直(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理：在平面内找与两平面交线垂直的直线考点二平面与平面垂直的判定与性质例(1)(2019高考全国卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD
8、，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线解析如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB.ECD是正三角形，EFCD.平面ECD平面ABCD，EF平面ABCD.EFFN.不妨设AB2，则FN1，EF，EN2.EMMD，DGGF，MGEF且MGEF，MG平面ABCD，MGBG.MGEF，BG ，BM.BMEN.连接BD，BE，点N是正方形ABCD的中心，点N在BD上，且BNDN，BM，EN是DBE的中线，BM，EN必相交故选B.答案B(2)
9、(2019高考全国卷)已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为_解析如图，过点P作PO平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离再过O作OEAC于E，OFBC于F，连接PC，PE，PF，则PEAC，PFBC.又PEPF，所以OEOF，所以CO为ACB的平分线，即ACO45.在RtPEC中，PC2，PE，所以CE1，所以OE1，所以PO.答案破题技法应用线面垂直的判定与性质定理的思维(1)证明两个平面垂直，关键是选准其中一个平面内的一条直线，证明该直线与另一个平面垂直这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑(2)
10、已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直(3)求作空间点向平面引垂线(段)或者求几何体的高，就利用面面垂直的性质考点三空间垂直关系的探索与转化挖掘1探索条件(开放性问题)/ 自主练透例1(1)如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析如图所示，连接AC，BD，则ACBD，PA底面ABCD，PABD.又PAACA，BD平面PAC，BDPC，当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD.而PC平面PCD
11、，平面MBD平面PCD.答案DMPC(或BMPC等)(2)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点求证：BG平面PAD；求证：ADPB；若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD？并证明你的结论解析证明：在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点，所以BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BG平面PAD.证明：如图，连接PG，因为PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PGAD.由知BGAD，又PGBGG，所以AD平面PGB.因为PB平
12、面PGB，所以ADPB.当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.证明：取PC的中点F，连接DE、EF、DF.在PBC中，FEPB，在菱形ABCD中，GBDE.而FE平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，PB平面PGB，GB平面PGB，PBGBB，所以平面DEF平面PGB.因为BG平面PAD，PG平面PAD，所以BGPG.又因为PGAD，ADBGG，所以PG平面ABCD.又PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD，所以平面DEF平面ABCD.挖掘2探索结论(创新问题)/ 自主练透例2(1)如图所示，一张A4纸的长、宽分别为2a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点现将其沿图中虚线
13、折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体下列关于该多面体的命题，正确的是_(写出所有正确命题的序号)该多面体是三棱锥；平面BAD平面BCD；平面BAC平面ACD；该多面体外接球的表面积为5a2.解析由题意得该多面体是一个三棱锥，故正确；APBP，APCP，BPCPP，AP平面BCD，又AP平面ABD，平面BAD平面BCD，故正确；同理可证平面BAC平面ACD，故正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径Ra，所以该多面体外接球的表面积为5a2，故正确，综上，正确命题的序号为.答案(2)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点
14、，点P在其表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P的轨迹的周长等于_解析分别取BB1，CC1的中点E，F，连接AE，EF，FD，则BN平面AEFD，过点M作平面，使平面AEFD，则平面与正方体表面的交线即为点P的轨迹，该轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，又矩形AEFD的周长为2，所以所求轨迹的周长为2.答案2破题技法探索垂直关系，常采用逆向思维一般假设存在线线垂直，所利用的关系常有：(1)等腰三角形的高、中线与底边垂直(2)矩形的相邻边垂直(3)直径所对的圆周角的两边垂直(4)菱形的对角线垂直(5)给出长度，满足勾股定理的两边垂直(6)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路
