1、第3讲平面向量1(2015课标全国)设D为ABC所在平面内一点，3，则()A.B.C.D.2(2015四川)设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则等于()A20 B. 15 C9 D63(2015江苏)已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_4(2014湖南)在平面直角坐标系中，O为原点，A(1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|1，则|的最大值是_1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.2.考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度低；向量作
2、为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.热点一平面向量的线性运算(1)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量例1(1)(2014陕西)设0，向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，若ab，则tan _.(2)如图，在ABC中，AFAB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若a，b，且xayb，则xy_.思维升华(1)对于平面向量的线性运
3、算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系跟踪演练1(1)(2015黄冈中学期中)已知向量i与j不共线，且imj，nij，m1，若A，B，D三点共线，则实数m，n满足的条件是()Amn1 Bmn1Cmn1 Dmn1(2)(2015北京)在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_.热点二平面向量的数量积(1)数量积的定义：ab|a|b|cos .(2)三个结论若a(x，y)，则|a|.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|.若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则cos .例2(1)如图，在平行四边形AB
4、CD中，已知AB8，AD5，3，2，则的值是_(2)在AOB中，G为AOB的重心，且AOB60，若6，则|的最小值是_思维升华(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算跟踪演练2(1)(2015山东)过点P(1，)作圆x2y21的两条切线，切点分别为A，B，则_.(2)(2014课标全国)已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_热点三平面向量与三角函数平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为
5、题目条件例3已知向量a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中0xc，已知2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值1如图，在ABC中，DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设a，b，用a，b表示向量.则等于()A.(ab) B.(ab)C.(ab) D.(ab)2如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，2，则等于()A B C D3已知向量a(1,2)，b(cos ，sin )，且ab，则tan(2)_.4如图，在半径为1的扇形AOB中，AOB60，C为弧上的动点，AB与OC交于点P
6、，则最小值是_提醒：完成作业专题三第3讲二轮专题强化练专题三 第3讲平面向量A组专题通关1(2015佛山月考)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)，(1,3)，则等于()A(2,4) B(3,5)C(1,1) D(1，1)2(2015安徽)ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，2ab，则下列结论正确的是()A|b|1 BabCab1 D(4ab)3在ABC中，N是AC边上一点，且，P是BN边上的一点，若m，则实数m的值为()A. B.C1 D34(2015福建)已知，|，|t，若点P是ABC所在平面内的一点，且，则的最大值等于()A13 B15 C19 D215
7、(2015湖北)已知向量，|3，则_.6若点M是ABC所在平面内的一点，且满足53，则ABM与ABC的面积比值为_7(2015天津)在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的值为_8设向量a(a1，a2)，b(b1，b2)，定义一种向量积ab(a1b1，a2b2)，已知向量m(2，)，n(，0)，点P(x，y)在ysin x的图象上运动，Q是函数yf(x)图象上的点，且满足mn(其中O为坐标原点)，则函数yf(x)的值域是_9(2015惠州二调)设向量a(sin x，sin x)，b(cos x，sin x)，x0，(1)若|a|b
8、|，求x的值；(2)设函数f(x)ab，求f(x)的最大值10已知向量a(2sin(x)，0)，b(2cos x,3)(0)，函数f(x)ab的图象与直线y2的相邻两个交点之间的距离为.(1)求的值；(2)求函数f(x)在0,2上的单调递增区间B组能力提高11已知非零单位向量a与非零向量b满足|ab|ab|，则向量ba在向量a上的投影为()A1 B.C1 D12已知a，b是单位向量，ab0，若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是()A1，1 B1，2C1，1 D1，213(2015江苏)设向量ak(k0,1,2，12)，则(akak1)的值为_14(2014陕西)在直角坐标系xOy中，
9、已知点A(1,1)，B(2,3)，C(3,2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上(1)若0，求|；(2)设mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值学生用书答案精析第3讲平面向量高考真题体验1A3，3()，即43，.2C，(43)(43)(16292)(1662942)9，选C.33解析a(2,1)，b(1，2)，manb(2mn，m2n)(9，8)，即解得故mn253.4.1解析设D(x，y)，由(x3，y)及|1知(x3)2y21，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆又O(1,0)(0，)(x，y)(x1，y)，|.问题转化为圆(x3)2y21上的点与点P(1，)
10、间距离的最大值圆心C(3,0)与点P(1，)之间的距离为，故的最大值为1.热点分类突破例1(1)(2)解析(1)因为ab，所以sin 2cos2，2sin cos cos2.因为00，得2sin cos ，tan .(2)如图，设FB的中点为M，连接MD.因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MDCF.因为AFAB，所以F为AM的中点，E为AD的中点方法一因为a，b，D为BC的中点，所以(ab)所以(ab)所以b(ab)ab.所以x，y，所以xy.方法二易得EFMD，MDCF，所以EFCF，所以CECF.因为ba，所以(ba)ab.所以x，y，则xy.跟踪演练1(1)C(2)解析(1)因为A
11、，B，D三点共线，所以imj(nij)，m1，又向量i与j不共线，所以所以mn1.(2)如图，()，x，y.例2(1)22(2)2解析(1)由3，得，.因为2，所以()()2，即222.又因为225，264，所以22.(2)如图，在AOB中，()()，又|cos 606，|12，|2()2(|2|22)(|2|212)(2|12)364(当且仅当|时取等号)|2，故|的最小值是2.跟踪演练2(1)(2)90解析(1)由题意，圆心为O(0,0)，半径为1.如图所示，P(1，)，PAx轴，PAPB.POA为直角三角形，其中OA1，AP，则OP2，OPA30，APB60.|cosAPBcos 60.
12、(2)()，点O是ABC中边BC的中点，BC为直径，根据圆的几何性质有，90.例3解(1)b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，f(x)bccos xsin x2cos xsin sin xcos x2sin xcos 2sin xcos x(sin xcos x)令tsin xcos x，则2sin xcos xt21，且1t.则yt2t12，1t，t时，ymin，此时sin xcos x，即sin，x，x，x，x.函数f(x)的最小值为，相应x的值为.(2)a与b的夹角为，cos cos cos xsin sin xcos(x)0x，0xc，所以a
13、3，c2.(2)在ABC中，sin B ，由正弦定理，得sin Csin B.因为abc，所以C为锐角，因此cos C .于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.高考押题精练1C因为DEBC，所以DNBM，则ANDAMB，所以.因为，所以.因为M为BC的中点，所以()(ab)，所以(ab)故选C.2B2，圆O的半径为1，|，()()2()()201.3解析因为a(1,2)，b(cos ，sin )，且ab，所以cos 2sin 0，则tan .所以tan 2.所以tan(2).4解析因为，所以()()2.又因为AOB60，OAOB，OBA60.OB1.所以|cos 120|
14、.所以|2(|)2.故当且仅当|时，最小值是.二轮专题强化练答案精析第3讲平面向量1C(2,4)(1,3)(1,1)2D在ABC中，由2ab2ab，得|b|2.又|a|1，所以ab|a|b|cos 1201，所以(4ab)(4ab)b4ab|b|24(1)40，所以(4ab)，故选D.3B如图，因为，所以，mm，因为B，P，N三点共线，所以m1，所以m.4.A建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，(0，t)，t(0，t)(1,4)，P(1,4)，(1，t4)1717213，故选A.59解析因为，所以0.所以()2|20329.6.解析设AB的中点为D，由53，得3322，即32.如图所示，故
15、C，M，D三点共线，且，也就是ABM与ABC对于边AB的两高之比为35，则ABM与ABC的面积比值为.7.解析在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB2，BC1，ABC60，CD1，21cos 6021cos 60cos 120.8，解析令Q(c，d)，由新的运算可得mn(2x，sin x)(，0)(2x，sin x)，消去x得dsin(c)，yf(x)sin(x)，易知yf(x)的值域是，9解(1)由|a|2(sin x)2(sin x)24sin2x，|b|2(cos x)2(sin x)21，及|a|b|，得4sin2x1.又x0，从而sin x，所以x.(2)f(x)absin xcos
16、xsin2xsin 2xcos 2xsin(2x)，当x0，时，sin(2x)取最大值1.所以f(x)的最大值为.10解(1)因为向量a(2sin(x)，0)，b(2cos x,3)(0)，所以函数f(x)ab4sin(x)cos x4sin x()cos xcos x2cos2x2sin xcos x(1cos 2x)sin 2x2cos(2x)，由题意，可知f(x)的最小正周期为T，所以，即1.(2)易知f(x)2cos(2x)，当x0,2时，2x，4，故2x，2或2x3，4时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为，和，11C因为|ab|ab|，所以(ab)2(ab)2，
17、解得ab0，所以向量ba在向量a上的投影为|ba|cosa，ba|a|1.12Aab0，且a，b是单位向量，|a|b|1.又|cab|2c22c(ab)2aba2b21，2c(ab)c21.|a|b|1且ab0，|ab|，c212|c|cos (是c与ab的夹角)又1cos 1，0c212|c|，c22|c|10，1|c|1.139解析ak，akak1coscoscoscossin.故(akak1)ososin.由os0，in0，得(akak1)cos129.14解(1)方法一0，又(1x,1y)(2x,3y)(3x,2y)(63x,63y)，解得即(2,2)，故|2.方法二0，则()()()0，()(2,2)，|2.(2)mn，(x，y)(m2n,2mn)，两式相减得，mnyx.令yxt，由图知，当直线yxt过点B(2,3)时，t取得最大值1，故mn的最大值为1.
