1、五 空间直角坐标系(15 分钟 30 分)1已知平行四边形 ABCD，且 A(4，1，3)，B(2，5，1)，C(3，7，5)，则顶点 D 的坐标为()A(5，13，3)B(5，13，3)C(5，13，3)D(5，13，3)【解析】选 B.由平行四边形对角线互相平分的性质知，AC 的中点即为 BD 的中点，AC 的中点 M72，4，1 .设 D(x，y，z)，则72 x22 ，45y2，11z2 ，所以 x5，y13，z3，所以 D(5，13，3).【补偿训练】在空间直角坐标系中，点 P(3，4，5)与 Q(3，4，5)两点的位置关系是()A关于 x 轴对称 B关于 xOy 平面对称 C关于坐
2、标原点对称 D以上都不对 【解析】选 A.点 P(3，4，5)与 Q(3，4，5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于 x 轴对称 2设 A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则 AB 的中点 M 到 C 的距离|CM|的值为()A 534 B532 C 532 D 132 【解析】选 C.AB 的中点 M2，32，3 ，又 C(0，1，0)，所以CM 2，12，3 ，故 M 到 C 的距离为|CM|CM|2212232 532 .【补偿训练】已知ABC 的三个顶点为 A(3，3，2)，B(4，3，7)，C(0，5，1)，则 BC 边上的中线长为()A2 B3
3、 C4 D5【解析】选 B.设 BC 边上的中点为 D，则AD 12(AB AC)(1，2，2)，所以|AD|144 3.3在空间直角坐标系中，点 B(1，2，3)关于 x 轴的对称点 B的坐标为_，若点 C(1，1，2)关于 xOy 平面的对称点为点 C，则|BC|_【解析】在空间直角坐标系中，B(1，2，3)关于 x 轴的对称点 B的坐标为(1，2，3)，若点 C(1，1，2)关于 xOy 平面的对称点为点 C，则 C(1，1，2)，所以|BC|（11）2（12）2（23）2 6.答案：(1，2，3)6 4已知点 A(4，5，6)，B(5，0，10)，在 y 轴上有一点 P，使|PA|PB
4、|，则点 P 的坐标为_【解析】设 P(0，y，0)，由|PA|PB|，得（40）2（5y）2（60）2 （50）2（0y）2（100）2，解得 y245 .所以点 P 的坐标为0，245，0 .答案：0，245，0 5如图所示，多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEFG 所截而得，其中 AB4，BC1，BE3，CF4，按图建立空间直角坐标系，求BG GF 的值 【解析】AB4，BC1，所以 B(1，4，0)，因为长方体的对面互相平行，且被截面 AEFG 所截，所以交线 AGEF.又因为 BE3，CF4，所以 DG1，故 E(1，4，3)，G(0，0，1).所以BG()1，4，1 ，
5、GF()0，4，3 ，BG GF(1)0(4)41313.(30 分钟 60 分)一、单选题(每小题 5 分，共 20 分)1在空间直角坐标系中，若 A(1，1，0)，12 AB(3，0，1)，则点 B 的坐标为()A(5，1，2)B(7，1，2)C(3，0，1)D(7，1，2)【解析】选 D.在空间直角坐标系中，A(1，1，0)，12 AB(3，0，1)，设点 B 的坐标为 B(x，y，z)，则12 AB 12(x1，y1，z0)(3，0，1)，解得 x7，y1，z2，所以点 B 的坐标为(7，1，2).2已知空间四点 A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，5)，D(x，1，3)共
6、面，则 x 的值为()A4 B1 C10 D11【解析】选 D.AB(2，2，2)，AC(1，6，8)，AD(x4，2，0)，因为 A、B、C、D 共面，所以AB，AC，AD 共面，所以存在、，使AD AB AC，即(x4，2，0)(2，26，28)，所以x42，226，028.所以4，1，x11.3已知点 A(1，2，11)，B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC 的形状是()A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形【解析】选 C.AB(3，4，8)，AC(5，1，7)，BC(2，3，1)，所以|AB|324282 89，|AC|521272 75，|BC|22321
7、 14，所以|AC|2|BC|2751489|AB|2.所以ABC 为直角三角形 4设AB(cos sin ，0，sin )，BC(0，cos ，0)，则|AC|的最大值为()A3 B 3 C2 3 D3 3 【解析】选 B.因为AC AB BC(cos sin，cos，sin)，所以|AC|2(cos sin)2cos2(sin)22sin 23，所以|AC|的最大值为 3.【误区警示】注意|AC|2与|AC|的区别 二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5在空间直角坐标系 Oxyz 中，下列说法不正确的是()A向量OB 的
8、坐标与点 B 的坐标相同 B向量AB 的坐标与点 A 的坐标相同 C向量AB 与向量OB 的坐标相同 D向量AB 与向量OB OA 的坐标相同【解析】选 BC.因为 A 点不一定为坐标原点，所以 B，C 都不对，符合题意；由于AB OB OA，D 正确，不符合题意 6已知向量 a(1，3，2)，b(2，1，1)，点 A(3，1，4)，B(2，2，2)，E65，145，25 ，O 为原点，则说法正确的有()A|2ab|2 2 B点 E 在直线 AB 上 COE b DAB(ab)【解析】选 BC.2ab(2，6，4)(2，1，1)(0，5，5)，故|2ab|02（5）252 5 2，A 错；AB
9、(1，1，2)，AE 95，95，185 95 AB，所以点 E 在直线 AB 上，B 正确；OE b125 145 25 0，所以OE b，C 正确；ab(1，2，3)与AB(1，1，2)不平行，D 错 三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7若 A(m1，n1，3)，B(2m，n，m2n)，C(m3，n3，9)三点共线，则 mn_【解析】因为AB(m1，1，m2n3)，AC(2，2，6)，由题意得AB AC，所以m12 12 m2n36，所以 m0，n0，所以 mn0.答案：0 8已知 A(1，0，0)，B(0，1，1)，O(0，0，0)，OA OB 与OB 的数量积等于OA OB 的
10、长度，则 的值为_.【解析】因为OA(1，0，0)，OB(0，1，1)，所以OA OB(1，)，所以(OA OB)OB 2，|OA OB|1（）22 122，由题意 2 122，所以212，22 .答案：22 四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ADAA12，AB4，DEAC，垂足为 E，求B1E 的长 【解析】如图，以 D 为坐标原点，以 DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系 则 D(0，0，0)，A(2，0，0)，B1(2，4，2)，C(0，4，0)，设 E 的坐标为(x，y，0).在坐标平面 xO
11、y 内，直线 AC 的方程为x2 y4 1，即 2xy40.因为 DEAC，所以直线 DE 的方程为 x2y0.由2xy40，x2y0，解得x85，y45 所以 E85，45，0 .所以 B1E85224542（02）2 6 105.即 B1E 的长为6 105.10已知空间三点 A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5).(1)求以AB，AC 为邻边的平行四边形面积；(2)若|a|3，且 a 分别与AB，AC 垂直，求向量 a 的坐标【解析】(1)由题中条件可知，AB(2，1，3)，AC(1，3，2)，所以 cos AB，AC ABAC|AB|AC|23614 14 12，所以 sin AB，AC 32 ，所以以AB，AC 为邻边的平行四边形面积 S|AB|AC|sin AB，AC 7 3.(2)设 a(x，y，z)，由题意得x2y2z23，2xy3z0，x3y2z0，解得x1，y1，z1 或x1，y1，z1.所以 a(1，1，1)或 a(1，1，1).
